Моделирование объектов и систем Курс лекций

Простейший контур регулирования

Моделирование – это замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным или другим объектом (моделью). При этом польза от моделирования может быть получена при соблюдении следующих условий: Модель корректно отображает свойства реального объекта (процесса) Модель помогает проанализировать данные, связанные с изменением процесса, протекающего в реальном объекте. Далеко не всегда удается промоделировать один и тот же процесс в одних и тех же физических условиях. Далеко не всегда удается повторить эксперимент Реальное воплощение всех процессов исследуемой модели, как правило очень дорогостоящий эксперимент.

Виды моделей В зависимости от способа реализации все модели могут быть разделены на следующие: 1. Физические – это замещение реального объекта его макетом, например, при проектировании самолета, изучении его аэродинамических характеристик, создается макет, который исследуется в аэродинамических трубах. Иногда физическое моделирование называют макетированием. 2. Математические - представляют собой формальное описание объекта (системы) с помощью разработанного абстрактного аппарата в виде совокупности математических моделей, схем, алгоритмов. Математические модели, как правило, которые присутствуют в исследуемом процессе. 3. Аналитические - предлагают использование математической модели реальных объектов (процессов) в форме дифференциальных уравнений связывающих функции входа и выхода. При этом полагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения рассматриваемой модели. 4. Имитационные - использует логику функционирования исследуемого объекта (системы). При исследовании процессов с помощью имитационного моделирования должен быть реализован аппарат наблюдения (вычисление функции выхода).

Принципы построения моделей технических систем При решении многих важных задач основным является построение математических моделей, исследуемых объектов, которое, как правило, осуществляется в специальной символике. При построении математических моделей используемых в системах управления, как правило, выделяют входные воздействия и функцию выхода, а также определяют функциональную взаимосвязь между ними. Довольно часто эта взаимосвязь описывается в виде линейных либо нелинейных операторов используемых в дальнейшем для решения задачи синтеза законов управления. При этом математические модели могут описываться в различных пространствах состояний: Операторное пространство, использующее преобразования Лапласа; Гильбертово или Банахово (все плоскости (бесконечное количество) перпендикулярны друг другу) пространство состояния, как правило, используемое для построения систем с распределенными параметрами; Представление модели в частотной области с помощью амплитудных и фазовых характеристик.

Операторы, используемые для описания моделей систем, можно классифицировать согласно следующей схеме:

Рассмотрим структурную схему решения задачи моделирования либо управления указанным процессом. Если цель управления достигнута, то задача считается решенной и алгоритм достижения цели выполнен. Если цель недостигнута, то вводят коррекции на различных этапах решения задачи, чтобы добиться цели управления. Схема коррекции имеет вид:

Структурное представление объектов Под структурой системы (объекта) понимают причинно- следственную связь между элементами направленного действия, поэтому понятия структура и система близки по смыслу. Наиболее общие понятия систем строятся на базе множеств: система существует, если имеется декартово пересечение множеств x и y (х - множество входных функций, у - множество функций выхода). В математике наиболее часто используют графы для описания взаимосвязей между различными элементами систем. В нашем случае рассмотрим структурные схемы, отражающие причинно-следственную связь различных звеньев. Указанная схема может быть записана в виде сигнального графа представленного как бинарное отношение передаточных функций на множестве переменных x :

Системы с типовой структурой y=W 1 *W 2 *W 3 *f y=(W 1 +W 2 +W 3 )*f y=f*W 1 /(1+W 2 *W 3 )

Указанные типовые структурные схемы обладают определенными свойствами, например, в системе с обратной связью, существует взаимосвязь параметров системы с точностью регулирования (ошибка регулирования Δ =1/(k+1), где k - коэффициент усиления). Кроме этого имеется взаимосвязь параметров переходных процессов с амплитудными и фазовыми частотными характеристиками, поэтому при наличии структурной схемы, в некоторых случаях, качественный график переходных процессов можно построить, не прибегая к моделированию системы.

Простейший контур регулирования

Графики различных форм переходных процессов

Задача регулятора сводится к тому, чтобы поддерживать заданное значение регулируемой величины. Однако, на объект регулирования могут действовать различные возмущающие факторы (температура, изменение нагрузки и др.) в результате чего регулируемый параметр отклоняется от заданного значения. Процесс возврата регулируемой величины к исходному значению может протекать по разному. На рисунке 1.2 приведены графики различных форм переходных процессов. Наиболее благоприятным случаем возврата регулируемой величины к заданному значению является апериодический сходящийся процесс (рисунок 1.2 а) Зачастую регулируемая величина возвращается к заданному значению лишь после ряда постепенно затухающих колебаний (рисунок 1.2 б). Такой процесс называется колебательно-сходящимся и характеризуется периодом колебаний Т, амплитудой и степенью затухания колебаний. Под периодом колебаний понимают время Т, в течение которого регулируемая величина имеет все возможные значения, находящиеся между соседними максимумами. Амплитудой называют максимальное отклонение регулируемой величины от заданного значения.

Степень затухания характеризуется отношением двух соседних амплитуд одного знака к начальной амплитуде На рисунке 1.2 в представлены незатухающие колебания, т.е. если α = 0. На рисунке 1.2 г показан расходящийся колебательный процесс, при котором происходит постепенное увеличение амплитуды колебаний и, таким образом, α < 0. На рисунке 1.2 д показан апериодический процесс, характеризующийся увеличением отклонений регулируемой величины, Последние два процесса являются неустойчивыми и указывают на неправильную работу регулятора.

Способность системы автоматического регулирования возвращаться к первоначальному состоянию регулируемой величины после исчезновения возмущения называется устойчивостью. Если отклонение регулируемой величины не превышает допустимой ошибки, то система автоматического регулирования называется статически устойчивой. Однако статически устойчивая САР может быть динамически неустойчивой, т.е. будет иметь неустойчивый переходный процесс (например, как на рисунке 1,2 г или 1.2 д). Такая система регулирования является неработоспособной Качество регулирования определяется формой переходного процесса и его продолжительностью Для обеспечения требуемого качества регулирования необходимо производить соответствующую настройку регулятора. Это предусматривает такое сочетание свойств регулятора и объекта регулирования, которое обеспечивает оптимальный по устойчивости и качеству процесс регулирования.

§ 1.1. Объект регулирования Каждый объект регулирования можно охарактеризовать одним или несколькими количественными и качественными величинами (параметрами) Простейшие объекты регулирования имеют одну регулируемую величину, например, напряжение, расход, давление, число оборотов и др. Любой объект регулирования характеризуется притоком (подачей) и стоком (расходом) вещества или энергии. Если приток равен стоку, то регулируемая величина не меняется во времени, а состояние такого объекта называют равновесным При наличии разности между притоком и стоком регулируемая величина изменяется во времени со скоростью, зависящей от емкости объекта регулирования Разность между притоком и стоком, определяющую скорость изменения регулируемой величины, называют возмущением

Для бесконечно малого отрезка времени зависимость изменения регулируемой величины от возмущения можно считать линейной, что математически можно выразить так dp - ничтожно малое приращение регулируемой величины; dt- бесконечно малый отрезок времени; Qnp - приток; Qcm - сток; С - емкость объекта: ΔQ возмущение.

Для выбора регулятора важно знать его время разгона или величину, обратную времени разгона, называемую чувствительностью объекта к возмущению: Т р - время разгона; ε чувствительность; Р так - максимальное значение регулируемой величины; Q max максимальное значение притока или стока. Обычно для данного объекта время разгона является величиной постоянной. Возмущение же, или его относительная величина: может принимать любые значения. Если при любом значении относительного возмущения, отличном от нуля, регулируемая величина непрерывно изменяется в одну сторону (увеличивается или уменьшается), то такой объект называют объектом без самовыравнивания.

Процесс изменения относительного значения регулируемой величины δ = Р / Р max может быть в первом приближении описан упрощенным дифференциальным уравнением: Р - текущее значение регулируемой величины; ρ коэффициент самовыравнивания; f (t) величина относительного возмущения, зависящая только от времени. δ 0 - значение δ при t = О, т.е. начальное значение относительного значения регулируемой величины; f(t) = δ t - значение δ при новом равновесии.

Запаздывание отражает свойство объекта не сразу реагировать на изменение нагрузки (расхода), а спустя некоторое время с момента возмущения, которое называется временем запаздывания и оно не зависит от характера возмущения Запаздывание бывает двух видов: передаточное или транспортное и переходное. Передаточное запаздывание вызывается тем, что чувствительный элемент и регулирующий орган находятся в различных местак системы автоматического регулирования Переходное запаздывание - это время от момента возмущения до начала изменения параметра. Избежать запаздывания в системах автоматического регулирования практически не удается, поэтому с ним приходится считаться при разработке регуляторов и САР.

§ 1.2. Обратная связь Большинство контуров САР являются замкнутыми динамическими системами с обратной связью, которая может быть положительной и отрицательной Система с положительной обратной связью не стабилизирует регулируемую величину, а отклоняет ее к одному из крайних значений. Поэтому контуры только с положительной обратной связью в САР не используются При отрицательной обратной связи (см. рис. 1.1.) сигнал с будет не складываться с r, а вычитаться, поэтому на выходе узла сравнения сигнал e будет уменьшаться и возникшее рассогласование уменьшится.

§ 1.3. Колебания в замкнутом контуре В контуре регулирования с обратной связью регулируемая величина часто совершает синусоидальные колебания, которые вызываются периодическими возмущениями в контуре регулирования (см. рису. 1.2 в). Например, для того, чтобы мяч постоянно подпрыгивал, необходимо ударять по нему в нужный момент, который должен отстоять от момента предыдущего удара на полный период колебаний мяча, т.е. на фазовый угол, равный 360°, иначе колебания будут затухать (см. рис. 1.2 б). § Период собственных колебаний контура Одной из характеристик контура является период его собственных колебаний. Если период собственных колебаний Т 0 совпадает с периодом вынужденных колебаний, то имеет место резонанс В качестве примера системы с обратной связью рассмотрим движение маятника. Регулируемым параметром здесь является угол расположения маятника относительно вертикали, заданным, значением - его вертикальное положение.

При отклонении от вертикали маятник под действием силы тяжести стремится занять вертикальное положение, при котором угол отклонения равен нулю Период собственных колебаний маятника может быть описан уравнением: L - длина маятника; g ускорение силы тяжести Маятник, выведенный из состояния покоя импульсным воздействием, будет совершать колебания с периодом Т 0. Импульс, скачок и другие случайные возмущения могут быть разложены на гармонические составляющие с различными периодами колебаний (или частоты). Однако, колебательная система будет реагировать только на те составляющие, период которых равен Т 0.

Период То любого контура зависит от свойств входящих в него элементов. Амплитуда колебаний в контуре регулирования зависит от величины передаточной функции G каждого элемента системы, а он определяется как отношение изменения выходной величины к входной, т.е. G = m/e ( см. рис. 1.1) При передаточной функции регулятора G = 0, колебания в системе отсутствуют (см. рис. 1.2 а). Если G установить на таком значении, при котором формируется дополнительное возмущающее воздействие, равное первоначальному, то контур будет совершать колебания с постоянной амплитудой (рис. 1.2 в). Для этого необходимо, чтобы волна полностью прошла через контур и возвратилась к исходной точке (входу) с первоначальной амплитудой. Это условие выполняется, если произведение коэффициентов передачи всех элементов контура равно единице. При G < 1 колебания в системе затухают (рис. 1.2 б). Таким образом, колебания с постоянной амплитудой в контуре регулирования возможны при условиях, когда: - Т 0 равна величине, при которой сдвиг по фазе всех элементов контура равен 180 гр, - произведение передаточных функций всех элементов контура равно единице. Эти условия являются основой для наладки и расчета параметров регуляторов.

Глава 2 Типовые звенья систем автоматического регулирования 2.1. Постановка задачи. Разбиение системы на звенья Целью рассмотрения системы автоматического регулирования может быть одна из двух задач: - задача анализа системы - задача её синтеза. В первом случае дается САР, включая значение параметров, и требуется определить её свойства, т.е. её поведение в установившихся и переходных режимах. Во втором случае, наоборот, задаются требуемые свойства системы и необходимо создать систему, удовлетворяющую этим требованиям. Очевидно, что задача синтеза значительно сложнее ввиду её неоднозначности В общем виде решение первой задачи сводится к математическому описанию САР, исследование её установившихся и переходных режимов работы. Математическое описание системы начинается с разбиения её на звенья и описания этих звеньев. Описание может быть аналитическим или графическим. Аналитическое описание выглядит в виде уравнений, связывающих входные и выходные величины звена, по которым затем составляются уравнения системы в целом. Систему следует разбивать.на возможно более простые звенья, но чтобы они обладали направленностью действия.

Звеном направленного действия называется звено, которое передает воздействие только в одном направлении - с входа на выход, так, что изменение состояния какого-либо звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход. Поэтому математическое описание каждого такого звена может быть составлено без учета его связей с другими звеньями. После разбиения САР на звенья направленного действия и математического описания звеньев составляется структурная схема системы, состоящая из прямоугольников, изображающих звенья системы, и стрелок, соединяющих выходы и входы звеньев согласно связям между ними. Стрелками показываются и внешние воздействия, приложенные к отдельным звеньям. Внутри каждого прямоугольника обычно записывается описывающее его уравнение или характеристика. Получение структурной схемы и является конечной целью математического описания САР.

§ 2.2. Режимы работы объекта. Возмущающие действия Объект управления может работать в двух режимах: статическом и динамическом. Статический режим - такой режим работы, при котором приток энергии или вещества в объект равен оттоку, объект находится в состоянии равновесия. Динамический режим - такой режим работы, при котором равновесие между притоком и оттоком энергии или вещества нарушено. Математическая модель объекта или уравнение математической взаимосвязи его входного и выходного сигналов в динамическом режиме работы называется динамической характеристикой В настоящее время дифференциальные уравнения являются основным инструментом при математическом описании всего, что изменяется во времени и пространстве.

В теории автоматического управления удачно подобраны всего шесть типов уравнений взаимосвязи выходного и входного сигналов объектов системы автоматического управления, которые названы типовыми динамическими звеньями (ТДЗ) и которые составляют математический аппарат, используемый при исследовании объектов в целях получения математических моделей.

Методика применения этого метода с помощью ТДЗ заключается в следующем. На действующий объект управления на входной канал подается одно из трех типовых возмущающих воздействий (рис. 2.2): единичный скачок; единичный импульс; синусоидальные колебания с различной частотой

На практике чаще всего используют возмущающее воздействие в виде единичного скачка. Реакция объекта на такое возмущение (то есть график изменения во времени выходного сигнала после подачи на вход единичного скачка) называют кривой разгона. ТДЗ отличается от объекта управления тем, что объект - это материальное воплощение технологического процесса, а ТДЗ - математическая абстракция, за которой нет ничего кроме типового уравнения взаимосвязи его входного и выходного сигналов. Каждое ТДЗ имеет свою типовую кривую разгона и ряд других типовых характеристик. Любые объекты управления можно исследовать и получать их математические модели - динамические характеристики, используя всего шесть ТДЗ.

§ 2.3, Апериодическое (инерционное, статическое) звено Типовое дифференциальное уравнение взаимосвязи выходного и входного сигналов апериодического ТДЗ имеет вид: Т 0 - постоянная времени; К передаточная функция или коэффициент передачи Более удобна математическая модель объекта или ТДЗ, записанная в виде передаточной функции Передаточной функцией называется преобразованное по Лапласу исходное дифференциальное уравнение. В преобразовании по Лапласу исходное дифференциальное уравнение называется оригиналом, а преобразованное и записанное в операторной форме уравнение - его изображением.

Суть преобразований Лапласа заключается в замене функций вещественных переменных – Хвых(t) и Хвх(t) на функции комплексных переменных – Хвых(p) и Хвх(р), где р - оператор Лапласа, то есть комплексное число р = ±т + jn, Эти функции связаны между собой интегралом Лапласа: Для большинства дифференциальных уравнений, используемых в ТДЗ, чисто формальным условием перехода от оригинала к изображению будет замена d/dt на р, d²/dt² на р² и т.д. Таким образом, изображение уравнения (2.1), то есть операторная форма записи будет иметь вид:

Уравнение (2.4), поскольку оно теперь алгебраическое, можно преобразовать следующим образом: Из этого уравнения легко получить передаточную функцию как отношение Х вых(р) / Х вх(р) и для апериодического звена т.о. получим: Каждое ТДЗ имеет ряд типовых частотных характеристик: амплитудно-частотную (АЧХ); фазочастотную (ФЧХ); амплитудно-фазовую частотную АФЧХ (или АФХ); логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ); логарифмическую фазочастотную (ЛФЧХ). На практике чаще всего используют амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФХ)

АФХ является вектором W, а график АФХ - годографом этого вектора, то есть кривой на комплексной плоскости, которую описывает конец вектора W при изменении частоты от 0 до бесконечности. Изображение вектора на комплексной плоскости представлено на рисунке 2.4. Вектор характеризует две величины: направление (градиент) и длина (скаляр).

Аналитически вектор можно записать в виде двух проекций на действительную М и мнимую jN оси и выразить эти проекции через угол альфа или используя формулу Эйлера : I W I - вектор по модулю или длина вектора; е = 2,73 - основание натуральных логарифмов: j - мнимое число, равное j = -1; j² = - l; …. Аналитическое выражение вектора АФХ любого ТДЗ можно получить через передаточную функцию, заменив в ней оператор Лапласа р на выражение (jω ), где ω - угловая частота, ω = 2πf = 2 π /T, где Т период колебаний; f - частота колебаний. Для апериодического звена АФХ имеет вид:

избавляемся от j в знаменателе путем умножения на сопряженный множитель: Изменяя частоту ω от 0 до можно построить на комплексной плоскости график вектора АФХ - его годограф (рисунок 2,5), представляющий собой полуокружность, расположенную в четвертом квадранте комплексной плоскости, диаметр которой равен К.

На рисунке 2.6 представлена типовая кривая разгона апериодического звена, называемая экспонентой По кривой разгона объекта или звена легко найти коэффициент К и постоянную времени Т 0 в передаточной функции апериодического звена Примером реализации апериодического звена может служить график разгона электродвигателя небольшой мощности, который после включения в электросеть (подачи единичного скачка) набирает обороты по экспоненте или график изменения температуры печи после подачи напряжения на нагревательные элементы. В литературе объекты с передаточной функцией апериодического звена называют статическими.

§ 2.4 Астатическое (интегрирующее) звено Типовое дифференциальное уравнение этого звена имеет вид: Это уравнение можно решить в общем виде, взяв интегралы левой и правой его частей: Применяя преобразования Лапласа получаем передаточную функцию астатического звена. Операторная форма записи дифференциального уравнения (2.9): Передаточная функция имеет вид:

Из передаточной функции легко получить аналитическое выражение вектора АФХ астатического звена путем замены оператора Лапласа (р) на выражение (jω): Разделив полученное выражение на действительную m и мнимую jn части, легко построить его годограф, изменяя частоту от 0 до. (рис. 2.7). Конец вектора АФХ перемещается по отрицательной мнимой полуоси комплексной плоскости (m = 0), которая и будет графиком АФХ астатического звена (рисунок 2.7).

Кривая разгона астатического звена при подаче на вход ступенчатого сигнала имеет вид (рисунок 2.8). Из графика видно, что объект, аппроксимируемый астатическим ТДЗ, не обладает свойством самовыпрямления. По кривой разгона легко определить постоянную времени астатического звена:

Передаточную функцию астатического звена иногда записывают в виде: после преобразования получаем: Примером реализации астатического ТДЗ может служить любой бункер-накопитель в технологической цепи пищевых производств или цилиндрический бак, из которого вода откачивается насосом постоянной производительности (рис. 2.9). Равновесие в этой системе наступает только при равенстве входного потока Q 1 производительности насоса Q 2.

§ 2,5. Колебательное (апериодическое второго порядка) звено Типовое дифференциальное уравнение этого звена имеет вид: Заменив d²/dt² на р² и d/dt на p получим операторную форму записи этого дифференциального уравнения, преобразованного по Лапласу в алгебраическое: или Преобразуя последнее уравнение в отношение выходного сигнала к входному получим передаточную функцию колебательного звена:

Из передаточной функции можно получить аналитическое выражение вектора АФХ колебательного звена, заменив оператор (р) на (jω): Умножая числитель и знаменатель на сопряженный множитель знаменателя получим после преобразований:

Типовые кривые разгона колебательного и апериодического второго порядка звеньев приведена на рис Различие приведенных кривых определяет соотношение коэффициентов (постоянных времени) Т 1 и Т 2 в исходном дифференциальном уравнении; если Т 2 ² 4Т 1, - как апериодическое звено второго порядка. Изменяя ω от 0 до в действительной m(ω) и мнимой jn(ω) частях вектора АФХ данного звена, можно построить его годограф (рис. 2.10).

Из рисунка 2.11 видно, что объекты аппроксимируемые колебательным или апериодическим второго порядка звеном обладают свойством самовыравнивания, то есть способностью самостоятельно восстанавливать состояния равновесия после возмущающего воздействия. Примером колебательного звена может служить колебание подрес- соренных масс вагонов, автомобилей при воздействии неровностей дороги. По кривым разгона колебательного и апериодического звеньев можно найти значение коэффициента К в их передаточной функции. Определить постоянные времени по кривым разгона значительно сложнее.

§ 2.6 Пропорциональное (усилительное, безынерционное) звено Выходной и входной сигналы пропорционального звена связаны с алгебраическим уравнением и оно же может служить операторной формой записи уравнения звена Передаточная функция пропорционального звена: Аналитическое выражение вектора АФХ этого звена: Поскольку АФХ пропорционального звена не зависит от частоты ω годограф вектора превращается в точку С (рисунок 2.12), находящуюся на действительной положительной полуоси комплексной плоскости на расстоянии К от начала координат.

Пропорциональное звено мгновенно, без инерции, реагирует на возмущающее воздействие (рис. 2.13). Примером реализации пропорционального звена может служить рычаг (рис. 2.14), у которого при перемещении одного конца (Хвх) мгновенно перемещается другой его конец (Хвых).

§ 2.7. Дифференцирующее звено Различают: идеальное и реальное дифференцирующее ТДЗ. У идеального дифференцирующего звена типовое дифференциальное уравнение имеет вид: Операторная форма записи этого уравнения: Передаточная функция идеального дифференцирующего звена: Аналитическое выражение вектора АФХ этого звена:

Изменяя частоту и от 0 до в последнем выражении, можно построить график вектора АФХ идеального дифференцирующего звена (рисунок 2.15), который будет располагаться по мнимой положительной полуоси, так как вещественная часть в уравнении (2.18) равна нулю. Типовая кривая разгона идеального дифференцирующего звена

Выходной сигнал этого звена пропорционален первой производной входного сигнала, то есть тангенсу угла наклона АФХ. В момент подачи входного сигнала этот угол равен + 90°, a tg(+ 90°) = +, а далее входное воздействие устанавливатся равным единице, при этом угол наклона становится равным - 90°, a tg(- 90°) = - Следовательно, выходной сигнал идеального дифференцирующего звена в момент подачи входного сигнала принимает значение + а затем тут же из + вычитается - и выходной сигнал возвращается в исходное нулевое состояние. Примером реализации идеального дифференцируемого звена может служить электрическая цепь (рисунок 2.17), состоящая из конденсатора емкостью С и резистора R, обладающего сверхпроводимостью, то есть R = 0.

Типовое уравнение реального дифференцирующего звена имеет вид: Операторная форма записи этого уравнения или отсюда можно получить аналитическое выражение передаточной функции реального дифференцирующего звена:

Заменив р на jω в передаточной функции, получим аналитическое выражение АФХ данного звена после преобразования: Изменяя частоту ω от 0 до в действительной m(ω) и мнимой jn(ω) частях, можно построить годограф реального дифференцирующего звена (рис. 2.18).

При ω = единицей в знаменателе можно пренебречь, тогда сократив дробь: получим Графиком вектора АФХ этого звена является полуокружность в первом квадрате комплексной плоскости, диаметр которой равен К/Т 0. Типовая кривая разгона реального дифференцирующего звена показывает, что после подачи на его вход единичного скачка входной величины выходной сигнал мгновенно увеличивается на величину К/Т 0, а затем по экспоненте постепенно приближается к нулю (рис. 2.19)

По кривой разгона легко определить постоянную величину времени Т 0 и значение К передаточной функции умножив ординату К/Т 0 на Т 0. Примером реализации реального дифференцирующего звена будет цепь, показанная на рис. 2.17, в которой сопротивление R не равно 0.

§ апаздывающее звено Причины запаздывания, которые могут возникать в САР были рассмотрены в § 1.1 на примере регулирования расхода сыпучего материала (рис. 1.5). При этом время запаздывания T d зависит от длины транспортерной ленты L и скорости движения транспортера v. Если на вход ленточного транспортера подать возмущение в виде единичного скачка (то есть открыть подачу материала), то этот же единичный скачок появится на выходе через время Td и типовая кривая разна запаздывающего звена будет иметь вид (рис. 2.20):

Представим теперь, что на вход транспортера подан единичный импульс. Через T d мы его получим на выходе транспортера. То же будет и при входном потоке, изменяющемся по синусоидальному закону или по какому-либо другому закону во времени. Таким образом, выходной сигнал повторяет входной, но с некоторым опозданием, равным T d. Поэтому общее уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов запаздывающего звена в динамическом режиме будет иметь вид: Для получения уравнения передаточной функции запаздывающего звена в обшем виде необходимо выполнить преобразование Лапласа:

Аналитическое выражение для вектора АФХ этого звена получим путем замены р на jω Чтобы разделить это выражение на вещественную и мнимую части, воспользуемся формулой Тогда Изменяя частоту ω от 0 до в действительной и мнимой плоскастях (2.27), можно построить годограф вектора АФХ запаздывающего звена (рис. 2.21), который будет представлять собой бесконечное число окружностей с единичным радиусом I W I = 1 вокруг начала координат комплексной плоскости. Первая окружность замыкается, когда ωT = 2π или при частоте ω = 2 π /Td

62 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 3.1. Постановка задачи Любая задача проектирования, связанная с расчетом потоков энергии или движением тел, в конечном счете сводится к решению дифференциаль- ных уравнений. В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называют частными. Мы будем рассматривать методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

63 Рис Решения дифференциального уравнения

64 Выбор начального значения, скажем, служит для выделения одной кривой из кривых семейства. Зачастую имеется более чем одна зависимая переменная, и тогда задача заключается в решении системы уравнений первого порядка, например,

65

66

67

68

69

70

71

72

73

Метод Эйлера

75

76

77

78

79

80 Элементарные динамические объекты Элементарный динамический объект это рационально выбранный элемент реального объекта, условно считающийся неделимым, обладающий, как целое некоторым фундаментальным свойством, например инерцией, и с достаточной степенью точности описываемый простейшим алгебраическим или дифференциальным уравнением. Важнейшее, фундаментальное свойство динамических объектов это их инерционность. Физически инерционность выражается в том, что объект не сразу, а постепенно реагирует на внешние воздействия, а в отсутствие внешнего воздействия стремится сохранить свое состояние и поведение. Математически инерция выражается в том, что выходная величина реального объекта является непрерывной во времени величиной. Более того, некоторые младшие производные выходной величины тоже должны быть непрерывными, они не могут изменяться скачком при ограниченных по мощности воздействиях, в том числе и изменяющихся скачком, ступенчато во времени. Простейшие инерционные динамические объекты – кинедины. Это элементарные объекты, мысленно или физически вычленяемые из структуры сложного объекта и с достаточной степенью точности подчиняющиеся простейшим дифференциальным уравнениям различных порядков. Такие модели состоятельны, по крайней мере, в некоторой пространственно-временной области и в ограниченном диапазоне величин сигналов.

81 рис. 2.2.

82 Внешнее воздействие на такой объект приводит к его движению в широком смысле этого слова: смещению (мгновенному пропорциональному изменению выходной физической величины, в том числе, хотя и не обязательно, пространственной), появлению или изменению скорости, ускорения и более высоких производных этой величины по времени. Приведенные формулы динамики элементарных моделей не описывают их противодействие источникам воздействий, а также влияние нагрузки на эти объекты. Другими словами, элементарные объекты рассматриваются как однонаправленные. При проектировании систем, включающих такие элементы, приходится в той или иной мере учитывать их противодействие источникам воздействий, а также противодействие им их нагрузками. Такой учет осуществляется "автоматически" при выводе дифференциального уравнения всей системы или сложного объекта.

83 Математическое описание инерции динамического объекта, объекта, соответствующего некоторому дифференциальному уравнению, состоит в том, что воздействие сказывается на реакции объекта опосредовано, оно непосредственно влияет на ту или иную производную реакции по времени, или сразу на несколько из них. Это и приводит к тому, что реакция проявляется только с течением времени. И действительно, такое описание соответствует поведению реальных объектов. Например, при мгновенной подаче некоторого, сравнительно малого, не меняющегося после подачи воздействия на элементарный объект второго порядка, например силы на инерционную массу, объект остается некоторое, пусть малое, время в том же состоянии, что и до подачи, имеет ту же скорость, что и ранее. Но вторая производная, т.е. ускорение, прыгает скачком, пропорционально величине приложенной силы. И, поэтому, только с течением времени, а не сразу, наличие второй производной проявляется в изменении скорости, а следовательно, в последующем, и на положении тела в пространстве.

84 Рис.2.3. Разгон моделей инерционных объектов различных степеней при подаче на них ступенчатого воздействия. Чем выше степень, тем слабее сказывается в начальные моменты времени воздействие на движении объекта, ярче проявляется их инерционность, но с течением времени объект с более высокой степенью инерционности "обгоняет" более простой объект

85 Суть математического описания и физическая трактовка степени инерционности элементарного динамического объекта состоит в следующем: Динамические объекты нулевого порядка безинерционны. Они мгновенно, безинерционно откликаются на изменение воздействия пропорциональным изменением выходной величины (в механике - смещением в пространстве по закону Гука, в электротехнике - мгновенным возникновением тока в резисторе при подаче на него напряжения). Придадим им нулевую степень инерционности. Воздействие на объект первого порядка вызывает скорость изменения выходной величины, пропорциональную величине воздействия. Такому объекту присвоим первую степень инерционности. Воздействие на объект второго порядка инерционности приводит к ускорению (появлению второй производной по времени) выходной величины, пропорциональному величине воздействия. Это может быть, например, массивное тело. Его положение в пространстве и скорость непрерывные функции времени. Такой объект имеет вторую степень инерционности. (Простейшие материальные объекты, обладающие такими свойствами, см. например рис. 2.2.) Воздействие на объект третьего порядка вызывает третью производную по времени выходной величины, пропорциональную воздействию, его степень инерционности равна трем, и т.д. Свойством элементарного объекта с порядком, более высоким, чем второй, обладают, пусть в течение сравнительно короткого времени, достаточно сложные динамические системы.

86 Итак, то, как элементарные объекты воспринимают внешнее воздействие, характеризует их инерционность. Инерция этих объектов проявляется и в том частном случае, когда воздействие на них равно нулю: - объект нулевого порядка мгновенно возвращается в исходное состояние по прекращении воздействия и остается в нем, - объект первого порядка сохраняет то положение, в котором его застало снятие воздействия, - объект второго порядка - сохраняет ту скорость изменения реакции (ее первую производную по времени), которая была в момент снятия воздействия, - объект третьего порядка - сохраняет то ускорение выходной величины, которое было в момент снятия воздействия, - и т.д. Т.о. инерционность объекта количественно в общих чертак определяется степенью его инерционности. Степень инерционности объекта можно определить как порядок n производной реакции объекта, на которую воздействие сказывается непосредственно. Порядок этой производной равен числу накапливающих элементов первого порядка, содержащихся в модели объекта. Как известно, это порядок т.н. характеристического полинома объекта или системы, или, что то же самое, количество его полюсов.

87

88 Инерционно - пропорциональные динамические звенья Эти звенья обладают инерционностью, а также способностью отслеживать внешние воздействия, в результате чего звено заставляет выходной сигнал стремиться стать с некоторой точностью пропорциональным входному сигналу. Самовыравнивание (а можно сказать, способность к отслеживанию) это способность динамического объекта так реагировать на входное воздействие, что его выходная величина стремится стать и быть пропорциональной входному воздействию, изменяться с некоторой степенью точности с течением времени по тому же закону. С учетом инерционно-колебательных свойств динамического объекта эта пропорциональность достигается по окончании переходного процесса, в т.н. установившемся режиме работы объекта или системы взаимосвязанных объектов. Точность, с которой достигается названная пропорциональность, определяется как величиной, скоростью, ускорением и т.д. изменения входного воздействия, так и инерционно - динамическими свойствами объекта. Практическая значимость инерционно - пропорциональных звеньев в том, что ими, м.б. с использованием звена запаздывания, зачастую можно вполне удовлетворительно промоделировать правильно работающую САР, состоящую из многих элементов. Т.е. описывать свойства такой САР можно с помощью достаточно простой модели, характеризуемой всего двумя - тремя параметрами.

89

§ 2.9. Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев Анализ устойчивости САР удобно выполнять с помощью логарифмических частотных характеристик, поэтому представляет интерес изучение логарифмических характеристик типовых динамических звеньев. Логарифмические характеристики включают в себя, логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую характеристику (ЛФХ). В ТАУ при исследовании динамических свойств САР (особенно устойчивости) пользуются логарифмическими частотными характеристиками (ЛЧХ). Эти характеристики также широко используются при определении структуры и параметров регуляторов, формирующих заданный переходный процесс в САР. Логарифмируя левую и правую части уравнения амплитудно- фазовой частотной характеристики (АФХЧ), можно записать:

Зависимости lgA(ω) и јφ(ω) представляют собой соответственно логарифмические амплитудную и фазовую характеристики. Для оценки отношения двух однородных величин принято использовать логарифмическую единицу децибел (дБ), Связь между числом L и числом А выражается формулой L =20lgA. Например, А=10 то L =20lgA=20 дБ, так как lg1O = 1. ЛАХ и ЛФХ представляются в этом случае графиком в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладывается частота ω в логарифмическом масштабе, а по оси ординат - значения амплитуд ЛАХ в децибелах и углы ЛФХ в градусах или радианах в равномерном масштабе. Безынерционное (пропорциональное) звено АФХ этого звена: Логарифмируя АФЧХ этого звена, получим L(ω) = 20lg К Так как К от частоты не зависит, ЛАХ этого звена будет представлять собой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 2.22).

Апериодическое звено Логарифмируя АФЧХ этого звена получим:

Если ω²Т²«1, получим L 2 (ω) = 0, так как Ig1 = 0. Если ω²Т²»1 единицей можно пренебречь, тогда получим L 2 (ω) = -20lgωТ. При ωТ = 1 подкоренное выражение равно двум, а L 2 (ω) = ЗдБ

Глава 3. Устойчивость систем автоматического регулирования Устойчивость САР является важнейшим показателем качества процесса автаматического регулирования. Основоположником теории устойчивости является российский математик и механик A.M. Ляпунов, который впервые изложил основы теории устойчивости в работе «Общая задача об устойчивости движения» в 1892 г. В ней было дано понятие устойчивости и разработаны методы анализа устойчивости нелинейных систем.

Устойчивость САР - есть свойство систем возвращаться к состоянию установившегося равновесия после прекращения действующих на нее возмущений. Следовательно, об устойчивости САР можно судить по характеру переходного процесса. Cистема является устойчивой, если в результате случайного возмущения отклонение с n регулируемой величины от положения равновесия (с n = 0) с течением времени стремится к значению, меньшему любого заданного. Отсюда следует, что в устойчивой системе должны иметь место только сходящиеся переходные процессы (см. рисунок 1.2). И наоборот, неустойчивая система характеризуется наличием расходящегося переходного процесса в тех же условиях (см. рисунок 1.2 г). Любая САР состоит из отдельных звеньев и ее работа описывается дифференциальными уравнениями, в которых участвуют постоянные времени Т и коэффициенты усиления, то есть передаточные функции G отдельных звеньев и связей системы.

Для определения устойчивости системы необходимо найти решение однородного дифференциального уравнения: В общем случае для любой САР при приложении возмущения к входу объекта операторы имеют вид:

Общий интеграл дифференциального уравнения (3.1) D(p)C n = G(p)r(t) и, следовательно, математическое выражение переходного процесса САР находятся в виде суммы двух решений общего уравнения: C ni = f i (t) (3.4) однородного дифференциального уравнения вида: D(p)C n = 0 (3.5) и частного решения: C ni = f i (t) (3.6) Решение (3.4) соответствует свободному переходному процессу исследуемой системы после вывода её из состояния равновесия. Решение (3.6) характеризует вынужденный переходный процесс под влиянием постоянно действующих возмущений f(t)

Т.о., для выявления переходного процесса системы регулиро - вания необходимо найти общее решение (общий интеграл) неоднородного дифференциального уравнения САР в виде: C n = C ni + C nij (3.7) Под действием возмущающих воздействий системы ведут себя по- разному. При этом возможно пять основных случаев (рисунок 3.3). 1. Регулируемый параметр примет значение, имеющее место до появления возмущения (следовательно, регулятор астатический). (кривая 1) (кривые 2 и 3). 2. Регулируемый параметр придет к установившемуся значению, но не к тому, которое было до возмущения, а к новому (то есть регулятор статический). (кривая 4) (кривая 5). 3. Регулируемый параметр изменяется по периодическому закону, совершая незатухающие колебания с постоянной амплитудой вокруг среднего значения (кривые 6 и 7).

4. Величина регулируемого параметра совершает колебания с неограниченно возрастающей амплитудой (кривая 8). Переходные процессы этих систем являются расходящимися. 5. Регулируемый параметр апериодически монотонно неограниченно возрастает с течением времени (кривая 9). Переходные процессы подобных систем также являются расходящимися.

Как известно, решением уравнения (3.5), опуская индекс у с, будет: или, в развернутом виде: где С 1 С 2... С m постоянные интегрирования; Сравнивая уравнения (3.2) и (3.9) видно, что характеристическое уравнение составляется путем подстановки в выходном операторе D(p) - λ

Корни характеристического уравнения могут быть шести видов: 1. вещественными отрицательными; 2. вещественными положительными; 3. равными нулю; 4. комплексными с положительной вещественной частью: 5. комплексными с отрицательной вещественной частью: 6. мнимыми Рассмотрим характер поведения САР в переходном процессе в зависимости от вида корней характеристического уравнения (3.9). 1. Каждое из слагаемых уравнения (3.8,а) будет затухающей экспонентой, отклонение регулируемого параметра с течением времени (t ) будут стремиться к нулю. Действительно: Следовательно, такая система будет устойчивой с астатическим регулированием (рисунок 3.4 а; кривые 1, 2, 3).

2. Каждое из слагаемых уравнения (3.4) будет представлять неограниченно возрастающую экспоненту, когда то есть регулируемый параметр будет апериодически расходящимся, а САР будет неустойчивой (рисунок 3.4 а - кривая 4). 3. Если характеристическое уравнение системы имеет один нулевой корень (например, λ m-1 =0), а остальные корни - вещественные отрицательные, то: Следовательно, такая система будет устойчивой со статическим регулированием, (рисунок 3.4 б- кривые 1, 2, 3). Очевидно, что если все корни будут равными нулю, то такая САР будет устойчивой, так как:

4. Если характеристическое уравнение системы имеет одну пару сопряженных комплексных корней, а остальные корни вещественные отрицательные, то комплексные корни в уравнении (3.8,а) дадут составляющую (в тригонометрической форме): Эта составляющая представляет собой синусоиду с переменной амплитудой Если вещественная часть комплексных корней q будет отрицательной, то возникшие колебания будут затухающими, а САР устойчивой (рисунок 3.4 в). Если величина q будет положительной, то колебания будут незатухающими (с неограниченно возрастающей амплитудой), а САР - неустойчивой (рисунок 3.4 г). 5. Если характеристическое уравнение системы имеет одну пару мнимых сопряжений корней, а остальные вещественные отрицательные, то мнимые корни дадут составляющую По истечении достаточно длительного промежутка времени все составляю - щие экспоненты уравнения (3.8,а) будут стремиться к нулю, а составляющая от мнимых корней даст незатухающие синусоидальные колебания (рисунок 3.4 д). Следовательно, такая САР будет неустойчивой.

Из приведенного анализа можно сделать следующие выводы. Переходный процесс будет затухающим, а система автоматического регулирования устойчивой если характеристическое уравнение системы будет иметь корни только с отрицательными вещественными частями. На комплексной плоскости (рисунок 3.5) действительные отрицательные корни располагаются на действительной оси М(ω) слева от начала координат, сопряженные мнимые корни - на мнимой оси jN(ω) и сопряженные комплексные корни с отрицательными вещественными частями – в обоих левых квадрантак. Нулевые действительные корни располагаются в начале координат.

Следовательно, необходимым и достаточным условием устойчивости системы является нахождение всех корней характеристического уравнения оператора слева от мнимой оси. Весьма существенно, что устойчивость линейной системы определяется лишь знаком корней и не зависит от конечных значений постоянных интегрирования уравнения (3.8 а), т.е. от начальных условий. Иначе говоря, устойчивость системы сохраняется (или, наоборот, отсутствует) при любых начальных условиях.

Критерии устойчивости САР Прежде всего обязательно, чтобы все коэффициенты а 0, а 1... а m характеристического уравнения (3.9) были бы положительными. Это условие является необходимым, но не достаточным. Дополнительные признаки, позволяющие судить об устойчивости САР без решения характеристического уравнения, носят название критерия устойчивости. Из всех критериев наиболее распространенными являются: критерий Гурвица, основанный на алгебраическом методе, и критерий Михайлова, основанный на графоаналитическом методе Критерий Гурвица. Согласно этому критерию для того, чтобы корни характеристического уравнения САР имели отрицательную вещественную часть, а САР была бы устойчивой, необходимо и достаточно при положительности, всех коэффициентов уравнения иметь все главные диагональные миноры главного определителя положительными.

Главный определитель Гурвица составляется по следующему правилу: 1) по главной диагонали определителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a 1 ; 2) колонки вверх дополняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а колонки вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами; 3) на место коэффициентов с индексами больше т, а также меньше, чем нуль, ставятся нули Таким образом, из коэффициентов характеристического уравнения т степени составляется т определителей: и т.д. до т.

Все эти определители являются главными диагональными минорами определителя Δ m. Таким образом, САР будет устойчивой, если: а) все коэффициенты: характеристического уравнения будут положи- тельными, т.е. б) все определители будут положительными, т.е. Критерием Гурвица выгодно пользоваться при исследовании устойчивости САР не выше пятого порядка.

Пример 1. проверить по критерию Гурвица устойчивость САР температуры холодильной камеры, дифференциальное уравнение которой (0,024p p p + 9) c n =(0.006p p + 0.1)v(t) Характеристическое уравнение в соответствии с уравнением (3.9) имеет вид: 0,024λ 3 + 0,26 λ 2 +0,9 λ + 9 = 0 а его коэффициенты т.е. все положительны. Следовательно, первое условие устойчивости системы соблюдается. Составляем определители Гурвица, их будет три, так как характеристическое уравнение третьей степени:

Для вычисления определителя третьего порядка приписываем вниз к нему две первые строчки, а затем по диагонали берем произведения его элементов по три. Следовательно, и второе условие соблюдается: система является устойчивой. Критерий Михайлова удобен при исследовании устойчивости САР, переходные процессы которых описываются уравнениями высоких порядков (пятого и выше). Критерий основан на построении так называемого вектора Михайлова, представляющей собой годограф вектора D(iω), вычерчиваемый при изменении ω от 0 до

Комплексная функция D(iω), получается подстановкой p = iω в характеристическое уравнение (3.2): Выделив в правой части уравнения (3.10) вещественную и мнимую составляющие, можно записать: Годограф Михайлова строится на комплексной плоскости" по точкам в соответствии с выражением (3.11). Каждой точке кривой соответствует свое значение ω.

Можно сделать вывод, что при устойчивости системы годограф D(iω), двигаясь против часовой стрелки, должен поочередно пересекать действительную и мнимую оси координатной плоскости (см. рисунок 3.6 а ), причем при совмещении годографа D(iω) с действительной осью JN(ω)= 0, а при совпадении с мнимой осью M(ω)= 0. Если не выполняются эти условия (рисунок 3.6 б ), то САР не устойчива. Пример 2. Проверить по критерию Михайлова устойчивость САР температуры холодильной камеры, характеристическое уравнение которой дано в примере 1:

Для построения годографа Михайлова будем изменять частоту от 0 до. Результаты вычислений представлены в таблице 3.1. Как видно из рисунка 3.7, годограф Михайлова обошел в положительном направлении три квадранта Следовательно, САР устойчива.

Критерий устойчивости Найквиста предназначен для исследования устойчивости только замкнутых систем. Это графоаналитический критерий. Особенность этого критерия заключается в том, что устойчивость замкнутой системы определяют, используя амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) или амплитудно-фазовую (АФХ) характеристики разомкнутой системы Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: где W o (p) и W p(p) - передаточные функции объекта и регулятора Аналитическое выражение вектора АФХ разомкнутой системы: Разделив вектор АФХ разомкнутой САУ на действительную и мнимую части, строят его годограф, изменяя частоту ω от 0 до

Определение: замкнутая система будет устойчивой, если АФХ разомкнутой САУ на комплексной плоскости не охватывает точку Е с координатами [-1, j 0] (рисунок 3.8, кривая 1). Если АФХ разомкнутой системы проходит через точку Е, то система теоретически будет на границе устойчивости, а практически она будет неустойчивой. Чем правее от точки Е АФХ пересекает отрицательную действительную полуось, тем большим запасом устойчивости обладает замкнутая система.

Иногда АФХ разомкнутой системы при изменении ω от 0 до несколько раз пересекает отрицательную действительную полуось комплексной плоскости (рис. 3.9). В этом случае замкнутая система будет устойчивой, если число пересечений АФХ разомкнутой САУ отрицательной действительной полуоси левее точки Е снизу вверх равно числу ее переходов сверху вниз. На рис. 3.9 АФХ разомкнутой САУ пересекает отрицательную действительную полуось комплексной плоскости левее точки Е один раз снизу вверх и один раз сверху вниз. Следовательно, данная замкнутая система будет устойчивой.

2. Определение устойчивости САУ по логарифмическом частотным характеристикам. Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не АФХ, а логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАХ) (см. §2.9, слайд 61) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФХ) разомкнутой системы. Построение ЛАХ производится по выражению: где А(ω) - модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой системы: которой соответствует выражение для модуля в логарифмическом масштабе:

Примем, например, что K=50cˉ¹, T 1 =0,5c, ז 1 =0,2c, T 2 =0,0125c Тогда сопрягающие частоты Вначале построим первую асимптоту. При ω < ω 1, выражение (3.14) приобретает вид: которому (см. §2.9, интегрирующее звено) соответствует прямая с наклоном 20 дБ/Дек, пересекающая ось абсцисс при ω = ω c1 = К (рисунок 3.10). Для получения второй точки этой прямой откладываем от точки ω с 1 = 50 сˉ¹ одну декаду вправо, то есть до частоты ω = ω с 1 = 500 сˉ1, и находим точку D, находящуюся на 20 дБ ниже оси абсцисс. Можно отложить одну декаду влево до частоты ω =0,1 ω с 1 = 5 сˉ¹ и наити точку D 1 находящуюся на 20 дБ выше оси абсцисс, Первую асимптоту проводим до первой сопрягающей частоты ω 1 (точка А). Так как этой частоте соответствует постоянная времени Т 1 находящаяся в знаменателе (3.13), то ЛАХ необходимо «изломать» на -20 дБ/дек, и наклон второй асимптоты станет равным -40 дБ/дек. Это означает, что через одну декаду, то есть на частоте ω =10 ω 1, точка А опустится на 40 дБ.

Вторую асимптоту доводим до второй сопрягающей частоты ω2 (точка В), Так как частоте ω2 соответствует постоянная времени ז1 находящаяся в числителе (3.13), то ЛАХ «изламываем» на +20 дБ/дек и наклон третьей асимптоты составит -20 дБ/дек. Доводим до третьей сопрягающей частоты ω3 (точка С). Так как этой частоте соответствует постоянная времени Т2 сомножитель второго порядка знаменателя (3.13), то ЛАХ «изламываем» на -40 дБ/дек и последняя асимптота будет иметь наклон на -б ОдБ/дек. Действительная ЛАХ несколько отличается от асимптотической. Максимальные отклонения имеют место на сопрягающих частотак. На частоте ω1 действительная ЛАХ проходит на ЗдБ ниже, на частоте. Что касается фазы, то выражение для фазы (3.13) имеют вид: Каждая из составляющих Ψ1, Ψ 2, Ψ з представляет по сути одну и ту же зависимость от частоты. Поэтому достаточно построить только зависимость Ψ1= -arctgωT1 (см. рисунок 3.10). Все остальные характеристики получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы на соответствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45°. При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (3.15). Логарифмическая фазовая характеристика (рисунок 3.10) получается в результате алгебраического суммирования всех слагаемых (3.15). Построение ЛФХ можно значительно упростить, если заранее подготовить шаблон для одной из указанных закономерностей.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы сумма переходов ЛФХ разомкнутой системы через критический отрезок была равна l/2, где l -число корней с положительной вещественной частью в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы W(p). Как и ранее переход сверху вниз считается положительным, а снизу вверх - отрицательным. Применительно к рассмотренной системе (рисунок 3.10) очевидно, что ЛФХ не пересекает критический отрезок (переходов нет) в знаменателе передаточной функции (3.13) корней с положительной вещественной частью нет (l = 0) и, следовательно, замкнутая система устойчива. Аналогично обстоит дело и с замкнутой системой ЛЧХ, которая в разомкнутом состоянии изображена на рисунке 3.11a. При увеличении передаточной функции разомкнутой системы ЛАХ будет сдвигаться вправо параллельно самой себе, а ЛФХ изменяться не будет. Поэтому, когда частота среза ωс ЛАХ станет равной частоте Ώ, замкнутая система попадет на колебательную границу устойчивости, а при ωс > Ώ появится -1 переход через критический отрезок и замкнутая система станет неустойчивой. Для системы, ЛЧХ которой имеют вид, показанный на рис.3.11 б можно заключить, что замкнутая система будет устойчивой.

На рисунке 3.11 в изображены ЛЧХ, соответствующие рисунку 3.9. Здесь имеется +1 переход на частоте среза Ώ 2 и - 1 переход на частоте Ώ 1 Замкнутая система будет устойчивой, так как / = 0 и сумма переходов равна нулю. На рисунке 3.11 г показан случай, когда критический отрезок состоит из двух частей. Одна его часть находится на частотак ω ω 1 а другая на частотак ω 2 ω < ω 3. Так как имеется 1 переход через вторую часть критического отрезка, то замкнутая система неустойчива

Большое практическое преимущество критерия Найквиcта состоит в том, что АФХ и ЛЧХ разомкнутой системы могут быть получены не только расчетным путем при заданной передаточной функции разомкнутой системы, но и сняты экспериментально по уже созданной САР в целом или отдельных ее устройств. Это особенно важно тогда, когда достоверность исходный дифференциальных уравнений по тем или иным причинам вызывает сомнение Оценка устойчивости системы автоматического регулирования В предыдущих разделах были рассмотрены методы для суждения об устойчивости САР. Однако одной качественной характеристики системы как устойчивой явно недостаточно для оценки ее эксплуатационных свойств, поскольку имеют место следующие обстоятельства. Во-первых, расчет САР производится лишь приближенно, по ее линейной модели, при этом обычно не учитываются многие нелинейности, многие нелинейные функции линеаризуются, исключаются постоянные времени небольшой величины одних элементов по сравнению с другими, рассредоточенные емкости объектов считаются сосредоточенными и т.п. Во-вторых, элементы, составляющие САР, имеют допуски к номинальным величинам, что порождает отклонение фактических параметров системы от расчетных.

Поэтому каждая САР должна обладать некоторым резервом устойчивости, т.е. быть не только устойчивой, но и находиться не очень близко к границам устойчивости, чтобы неучтенные при расчете факторы не сделали систему неустойчивой. Простой и удобной количественной оценкой этого резерва устойчивости системы является запас устойчивости. 1. Необходимым и достаточным условием устойчивости САР является расположение корней характеристического уравнения оператора системы слева от мнимой оси комплексной плоскости (см. рисунок 3.5). Достаточно хотя бы одному корню расположиться на мнимой оси (то есть λ= 0) или перебраться правее ее (то есть λ >0), как система станет неустойчивой. 2. Расстояние мнимой оси от ближайшего корня системы и определяет резерв ее устойчивости. 3. Если ближайший к мнимой оси корень характеристического уравнения действительный, то запас устойчивости называется апериодическим, если этот корень комплексный, то запас устойчивости называется колебательным. 4. Наиболее распространенным и наглядным является анализ устойчивости, основанный на применении критерия Михайлова.

Основные показатели качества регулирования системы Для качества регулирования характерны следующие основные показатели (помимо устойчивости): статическая ошибка, динамическая ошибка, быстродействие системы, колебательность переходного процесса. Статическая ошибка. Статическая (называемая также остаточной) ошибка равна отклонению регулируемого параметра от заданного значения в установившемся режиме, т.е. после окончания переходного процесса. Статическая ошибка может быть положительной, если знак отклонения совпадает со знаком начального возмущения, и отрицательной, если знаки отклонения и возмущения различны. При приложении возмущения к входу объекта значение регулируемого параметра в переходном процессе определяется выражением:

Предположим, что САР была в равновесном (установившемся) состоянии. Очевидно, при этом относительное отклонение регулируемого параметра с n = 0, В момент t = 0 приложим к входу объекта воздействие в виде ступенчатой функции m (t) = m 0 = const (например, резкое изменение нагрузки). Теперь входной параметр объекта т n (см. рисунок 1.1) изменяется скачком и будет равен т n = с n + m 0, регулятор осуществляет свою регулирующую функцию, что приведет к новому равновесному состоянию со значением регулируемого параметра с n c, которое и составит статическую ошибку регулирования. Наступление нового установившегося состояния системы характеризуется тем, что все производные параметров системы (производные с n и с p ) равны нулю. Передаточные функции W n (p) и W p (p) вырождаются в передаточные коэффициенты G n и G р. В таком случае:

Как указывалось, коэффициент передачи объекта G n представляет собой обратную величину коэффициента самовыравнивания объекта, т.е. объекты могут быть статическими ( δ n > 0), астатическими ( δ n = 0 и δ n < 0), что в явном виде не отражается в уравнении (3.16). Введем коэффициент α, который будет отображать тип объекта: α = 1 (статический объект), α 0 (астатический объект) и α = -1 (неустойчивый объект). Тогда: Аналогично введем коэффициент β для регулятора: где δ Р - степень неравномерности, или коэффициент статизма; β - коэффициент, отображающий тип регулятора; β =1 (статический регулятор), β = 0 (астатический регулятор); случай, когда β = -1 не представляет интереса для автоматического регулирования.

Уравнение (3.16) после подстановки значений α и β принимает вид: Произведение Gn*Gp представляет собой передаточную функцию разомкнутой системы, которая для равновесного состояния вырождается в коэффициент усиления системы (G = Gn*Gp). Статическая ошибка для системы, состоящей из статического объекта (а= 1) и статического регулятора (β=1): т.е. она пропорциональна приложенному возмущению и уменьшается с увеличением передаточной функции системы G. Статическая ошибка для системы, состоящей из астатического объекта (α = 0) и статического регулятора (β=1):

т е. она пропорциональна приложенному возмущению и коэффициенту неравномерности (или статизма) δ Р Статическая ошибка для системы из неустойчивого объекта (α = -1) и статического регулятора: т.е. она больше, чем для системы со статическим объектом. Приведенные уравнения (3.16) позволяют решить очень важную практическую задачу определения минимально необходимого коэффициента усиления G р (или максимального значения обратной ему величины - коэффициента статизма или степени неравномерности) статического автоматического регулятора, обеспечивающего требуемую точность регулирования. Статическая ошибка для системы с астатическим регулятором (β = 0), вне зависимости от вида регулируемого объекта, как это видно из уравнения (3.16,а), равна нулю, т.е. подобные системы автоматического регулирования являются астатическими.

Выводом из сказанного является то, что для любых регулируемых объектов астатический регулятор не дает остаточной ошибки регулирования, а статический регулятор дает эту ошибку. При этом, знак статической ошибки такой же, как и величины β в уравнении регулятора, т.е. положительный при (β = 1). Поэтому, при обыкновенном статическом регуляторе увеличение нагрузки (характеризуется отрицательным возмущением) вызывает уменьшение регулируемого параметра в установившемся режиме. Динамическая ошибка. Динамическая ошибка равна максимальному отклонению регулируемого параметра от заданного значения (для установившегося состояния) во время переходного процесса. По окончании переходных процессов устанавливается новое значение регулируемого параметра, а динамическая ошибка уменьшается до нуля. Лишь в том случае, когда возмущение непрерывно меняется, процесс перехода системы к новому состоянию также будет непрерывным и динамические ошибки могут оставаться в системе длительное время. При переходном процессе в статических системах отклонения могут все время сохранять знак статической ошибки. В этом случае отклонение монотонно или колебательно ассиметрично (пульсирующее) стремится к статической ошибке. Например, если в состав статической системы входит лишь одно звено, с инерционностью которого необходимо считаться, в то время как инерционностью других звеньев можно пренебречь, то отклонение регулируемого параметра с n будет изменяться по закону нарастающей экспоненты (рисунок 3.12 а, кривая 1).

В переходном процессе знаки отклонений могут меняться. Если, например статическая система содержит два инерционных звена, то колебательные свойства системы усиливаются. График переходного процесса для такого случая изображен кривой 2 на рисунке 3.12,а. Из графика видно,что имеются отклонения со знаком статической ошибки ( с n с nc ). Наибольшее отклонение с противоположным знаком ( с nд - с nc ) называется перерегулированием, или забросом. В астатических системах сравнение знаков отклонений производится сопоставлением с начальным отклонением, образующимся в момент приложения возмущения. Кривая с n (t) может не пересекать вторично ось абсцисс (рисунок 3.12 б ; кривая 1) и может пересекать несколько раз при колебательном процессе (рисунок 3.12 б ; кривая 2). Быстродействие системы определяется временем регулирования, т.е. длительностью переходного процесса, иначе говоря, промежутком времени между моментом образования возмущения и моментом принятия регулируемым параметром нового установившегося значения (конечно, с некоторым небольшим допуском, обычно порядка до ±(2-5)% максимального отклонения). Колебательность переходного процесса определяется величиной логарифмического декремента, (или просто декремента) затухания, который равен натуральному логарифму предыдущей и последующей однозначных амплитуд отклонений. Слайд 140

Очевидно, что качество регулирования тем выше, чем меньше статическая и динамическая ошибки, чем меньше перерегулирование, чем выше быстродействие и чем меньше колебательность (т.е. меньше число колебаний или выше декремент затухания). Часто декремент затухания 0,693 считается достаточно высоким. Ему отвечает "постоянная" затухания е 0,693 = 2, т.е. последующая амплитуда составляет 0,5 предыдущей.

3.4. Выбор типа и настройки автоматического регулятора САР САР представляет собой единую сложную динамическую систему, свойства которой определяются в основном следующими тремя факторами: статическими и динамическими свойствами объекта; статическими и динамическими свойствами регулятора; величиной, характером и местом приложения возмущений. Свойства объекта описываются следующими параметрами: постоянной времени Т n, коэффициентом саморегулирования δ n или обратной величиной, т.е. передаточной функцией G n временем чистого запаздывания T d. При постоянстве δ n (или G n ) на всем рабочем диапазоне системы объект статический, линейный; при переменном δ n (или G n ) объект - статический, нелинейный часто с возможностью усреднения δ n (или G n ) для рабочего диапазона. Постоянная времени объекта Т n вычисляется для номинального значения нагрузки и формы написания уравнения процесса с коэффициентом усиления.

Свойства регулятора определяются, в первую очередь, законом регулирования (статический, астатический, изодромный, без воздействия или с воздействием по производной), взаимодействием отдельных звеньев (плавное, релейное), характером работы регулирующего органа (непрерывная, прерывистая), зоной нечувствительности. Количественной характеристикой служат передаточная функция регулятора G р или его коэффициент статизма (или степень неравномерности) δ Р и постоянные времени, в том числе изодрома R u и предварения Т n. В большинстве конструкций регуляторов величины G р, R u и Т n могут настраиваться в определенном диапазоне. Возмущения обычно характеризуются их предельными плюсовыми и минусовыми значениями ±m 0 относительно номинальной нагрузки, характером (т.е. знаком изменения во времени - возмущение скачком, с сохранением постоянной скорости, гармоническое возмущение и т.п.) и местом приложения (чаще всего оно приложено к входу объекта; при перенастройке оно прикладывается к входу регулятора). Выбор регулятора определяется на основе трех важнейших исходных фактов: свойств объекта, величины, характера возмущений и требований к САР.

Требования к системе чаще всего определяются четырьмя показателями, характеризующими статику и динамику системы (точность ее работы и устойчивость): статической (остаточной) ошибкой регулирования, забросом регулируемой величины (перерегулированием), временем регулирования (быстродействием) и автоколебаниями. Статическая ошибка регулирования может задаваться в абсолютной величине или в безразмерной, по отношению к номинальному значению регулируемого параметра или к диапазону шкалы вторичного прибора. Заброс при колебательном переходном процессе обычно характеризуется от. ношением максимальной амплитуды второй полуволны к максимальному значению отклонения на протяжении первой полуволны. Время регулирования задается в абсолютной величине (Т р ) или же, что более показательно, в безразмерном выражении (Ψ р = Т р /Т d ). Автоколебания системы регулирования (при их возникновении) характеризуются амплитудой колебаний регулируемого параметра (определяет динамическую точность процесса регулирования) и частотой (обычно лимитируется износом деталей автоматического устройства). Амплитуда автоколебаний задается по абсолютной величине или по отношению к номинальному значению регулируемого параметра, или к шкале вторичного прибора.

Для облегчения выбора типа регулятора применяются различные графоаналитические методики. При выборе типа регулятора надо знать: а) динамические свойства регулируемого объекта б) максимальную величину внешних возмущении m max в) технологические требования к качеству регулирования C n, Т р. Первоначально проверяется возможность применения двухпозиционного регулятора, которые могут быть применены только в том случае, если удовлетворяется условие: Если будет установлена непригодность двухпозиционного регулятора, производится выбор типа регулятора непрерывного действия графо- аналитическим способом по определенным методикам

Рассмотрим выбор регулятора по диаграмме АЛ. Лернера (рисунок 3.13).

а) коэффициент, выражающий динамические свойства регулируемого объекта: б) коэффициент, характеризующий требования к качеству регулирования в переходном процессе: в) динамический коэффициент, определяющий роль регулятора в устранении последствий возмущения: На рисунке 3.13 линиями со штриховкой, направленной вверх, ограничены области, соответствующие определенному типу регулятора: П - пропорциональ­ный, И - интегральный, ПИ - изодромный, ПИД - изодромный с предварением. Например,положение точки 1 определяет возможность выбора регуляторов: ПИД, ПИ, И (при Rd 0,15). Положение точки 2 - регуляторы ПИД, ПИ, И и П при (при Rd 0,15). положение точки 3 - регуляторы: ПИД; положение точки 4 – регуляторы: ПИД и ПИ.

Глава 4. Процессы регулирования и характеристики регуляторов (П, И, ПИ, ПИД) Характер переходного процесса в контуре регулирования зависит от типа регулятора. Наибольшее распространение имеют регуляторы, служащие для поддержания постоянства контролируемой величины, однако есть регуляторы, контролирующие состояние двух величин, например, расход топлива и подачу воздуха в топках котлов. Иногда приходится регулировать какую-то величину по различным законам в зависимости от каких-то факторов. В последние годы появились регуляторы, называемые самонастраивающимися или кибернетическими, которые дают возможность не только регулировать какой-то заданный параметр, но и выбирать оптимальный режим работы регулируемого объекта. В теории автоматического регулирования рассматриваются два режима работы САР: установившийся режим работы, когда величины, характеризующие работу САР, можно считать постоянными во времени; динамический режим, когда величины зависят от времени и в связи с этим при переходе из одного состояния з другое имеют место нестационарные (переходные) процессы.

При переходном процессе отклонения могут иметь тот же знак, что и статическая ошибка, тогда отклонения называют монотонными (например, рисунок 1.2 а); отклонения могут иметь изменяющиеся знаки, тогда процесс имеет колебаний характер (например, рисунок 1.2 б). Наибольшее отклонение называют перерегулированием. САР образуется из сочетания объекта регулирования и автоматического регулятора. Надежность работы САР определяется статическими и динамическими свойствами объекта регулирования и регулятора, а также характером возмущений или воздействий. Свойства объекта регулирования обычно задаются его постоянной времени, а также требованиями по самовыравниванию процесса и по времени запаздывания. Свойства регулятора определяются его законом регулирования, характером и пределами работы регулирующего органа. При выборе регулятора учитывают возможные возмущения, допустимые статические и динамические ошибки, размер перерегулирования, а также быстродействие и время перерегулирования. Настройка регулятора обеспечивает определенный запас устойчивости САР, надлежащее качество регулирования и быстродействие.

Регуляторы классифицируются по назначению, способу действия и характеру регулирующего воздействия. По назначению регуляторы подразделяют на регуляторы температуры, давления, уровня, расхода, состава продукта и другие. По способу действия регуляторы подразделяются на регуляторы прямого и непрямого действия. У первых перемещение регулирующего органа происходит за счет энергии регулируемого параметра, а у вторых - за счет энергии постороннего источника. В зависимости от используемой энергии регуляторы бывают пневматические, гидравлические и электромеханические. По характеру регулирующего воздействия различают следующие типы регуляторов: - позиционные, пропорциональные (П) или статические, - интегральные (И) или астатические, - изодромные или пропорционально-интегральные (ПИ), - пропорционально-дифференциальные (ПД) и - пропорционально-интегрально- дифференциальные (ПИД).

§ 4.1. Позиционные регуляторы Наиболее простым способом позиционного регулирования является двухпозиционное регулирование, при котором под воздействием импульса, поступающего от датчика, регулирующий орган может занимать только одно из крайних положений. Примером такого регулирования может служить регулирование температуры муфельной печи (рисунок 4.1), где при заданном значении температуры, контролируемой датчиком 2, срабатывает реле 1 и контактом этого реле цепь нагревательного элемента 3 замыкается или размыкается

§ 4.2. Пропорциональные регуляторы Пропорциональное регулирование характеризуется тем, что каждому значению регулируемого параметра соответствует одно определенное положение регулирующего органа. При этом отклонение регулируемого параметра зависит от величины воздействия. Рисунок 4.3. Пропорциональный регулятор давления прямого действия Регулируемая среда через импульсную трубку 2 воздействует на мембрану 3. Под влиянием давления на мембрану шток 5 перемещается и изменяет положение плунжера 1 двухседельного клапана, находящегося в корпусе 7. Шток проходит через сальник 6. Давлению жидкости на мембрану противодействует пружина 4. При изменении "величины давления изменяется положение плунжера, а следовательно, и сжатие пружины. Т.о., каждому значению давления соответствует новое положение плунжера (т.е. равновесие системы), что характерно для пропорционального регулирования.

Рисунок 4.4. График разгона пропорционального регулятора Из рис. видно, что по истечении времени t p наступает новое установившееся значение регулируемого параметра т р. У пропорционального регулятора (П-регулятора) выходная величина т связана с входной величиной е выражением (закон регулирования): Где: Р - диапазон пропорциональности регулятора, %; т 0 значение выходной величины, соответствующее заданному значению параметра.

При приближении величины Р к нулю коэффициент передачи П- регулятора стремится к бесконечности. При Р = 100% коэффициент передачи регулятора равен единице (G = 1). Если рассогласование е отсутствует, выходная величина регулятора равна т 0. Для возникновения в контуре с П-регулятором собственных колебаний необходимо, чтобы запаздывание в объекте обеспечивало сдвиг колебаний по фазе ровно на 180°. Отсюда можно определить период собственных колебаний контура Т 0 = 2Т d (4.2) т.е. контур регулирования с объектом, время запаздывания которого 60 с, при пропорциональном регулировании может совершать колебания с периодом 120 с. Для возникновения в контуре незатухающих колебаний необходимо, чтобы произведение передаточных функций всех его элементов было равно единице. А так как передаточная функция объекта, обладающего запаздыванием, равна единице, то очевидно, что незатухающие колебания в контуре могут возникнуть при G m = 1, т.е. при Р = 100% (рисунок 4.5 а).

Для того, чтобы колебания в контуре затухали, необходимо увеличить значение диапазона пропорциональности Р. На рисунке 4.5 б показано, что при Р - 200% амплитуда каждого последующего. полупериода колебаний должна уменьшаться в два раза, а целого периода - в четыре раза. Именно такую степень затухания колебаний применяют в регуляторах в качестве оптимальной.

Остаточное отклонение параметра при пропорциональном регулировании Основной функцией регулятора является стабилизация регулируемого параметра путем формирования выходного сигнала в соответствии с изменением нагрузки объекта. Поэтому нагрузку объекта часто выражают в величинах, соответствующим выходным значениям регулятора. В уравнении (4.1) П-регулятора выходная величина при отсутствии рассогласования равна т 0. Это значение обычно устанавливают равным 50% выходной величины или изменяют его вручную до приведения регулируемого параметра к заданному значению. Но из-за пропорцио- нальности между входом и выходом изменение выходного значения регулятора невозможно без соответствующего изменения рассогласо - вания. При изменении нагрузки выходное значение П-регулятора должно меняться. Величина отклонения текущего значения параметра от заданного определится равенством: Рассогласование, называемое в данном случае остаточным отклонением параметра, возрастает с увеличением Р. При Р = 200% изменение нагрузки на 10% дало бы 20%-ное остаточное отклонение, что недопустимо.

На рисунке 4.6 представлен график переходных процессов при изменении нагрузки при различных значениях коэффициента пропорциональности Р. При построении графиков полагали, что амплитуда отклонения нагрузки A = 5%, т.е. 0,05 и поэтому т 0 = 0,1, а r = 50%. По оси абсцисс откладывается текущее время с интервалом Td.

§ 4.3. Интегральное регулирование объектов е запаздыванием Пропорциональное регулирование обычно не применяют, если диапазон пропорциональности Р мал (несколько процентов). Интегральное или астатическое регулирование характеризуется тем, что заданному значению регулируемого параметра могут соответствовать различные положения регулирующего органа регулятора. При этом остаточное отклонение регулируемого параметра стремится к нулю независимо от величины воздействия.

Рассмотрим работу интегрального регулятора на примере регулирования с целью поддержания постоянного уровня жидкости в емкости (рисунок 4.7). Например, если уровень понизился, то для установления прежнего уровня необходимо, чтобы приток воды увеличился и стал больше расхода, тогда уровень начнет повышаться и неизбежно поднятие уровня выше заданного значения, т.е. перерегулирование. Через некоторое время замкнется другой контакт, и клапан начнет закрываться. В результате в системе возникнут колебания, амплитуда которых начнет постепенно уменьшаться, пока не установиться заданное значение уровня. Чем лучше регулятор, тем быстрее затухают возникшие колебания. В отличие от пропорционального регулятора скорость перемещения регулирующего органа пропорциональна величине отклонения регулируемого параметра: или Где: R - постоянная времени регулятора, называемая временем интегрирования; е отклонение регулируемого параметра; т - выходной сигнал регулятора; т о - начальное положение регулируемого органа до возмущения.

График разгона интегрального регулятора представлен на рисунке 4.8. Отклонение регулирующего параметра т при скачкообразном изменении е по истечении времени t p стремится к начальному значению т о положения при заданном значении регулируемого параметра: Для идеальной системы интегрального регулирования характерны следующие положения: равновесие системы достигается лишь при единственном значении регулируемой величины, т.е. остаточное отклонение отсутствует; регулирующий орган может занимать различное положение при одном и том же значении регулируемой величины.

Устройство астатического регулятора (И-регулятора) давления прямого действия изображено на рисунке 4.9. В отличие от П-регулятора давления (см. рис. 4.3) этот регулятор вместо пружины имеет шарнирно соединенный со штоком груз, который создает уже не переменное усилие, зависящее от сжатия пружины,а постоянную силу, открывающую клапан и определяемую весом груза (рис. 4.9.) В данном случае имеет место закон астатического регулирования, при котором заданное значение параметра (давления) сохраняется при различных значениях регулирующего органа (плунжера). Скорость перемещения плунжера зависит от величины отклонения давления от заданного значения. Эта скорость может регулироваться с помощью дроссельного вентиля. Такой тип регулятора способен вернуть регулируемый параметр к заданному значению, что невозможно при помощи П-регулятора. Рис. 4.9.

Колебания регулирующего параметра, которые могут возникать при работе И-регулятора (рисунок 4.10). Отклонение регулируемого параметра т при скачкообразном изменении нагрузки и следовательно сигнала е по истечении времени t P стремится к начальному значению т 0. Для идеального И-регулятора характерны следующие положения: равновесие системы достигается лишь при единственном значении регулируемой величины; регулирующий орган может занимать различные положения при одном и том же значении регулируемой величины.

Наибольший интерес представляет случай, когда период вынужденных колебаний контура регулирования совпадает с периодом его собственных колебаний Т о, так как в этом случае возможны незатухающие колебания. Подадим на вход регулятора синусоидальное возмущение: где А амплитуда возмущения, т.е. А = е max На выходе регулятора получим интеграл от входа по времени: откуда: где т 0 - значение выходной величины в момент при t = 0 Принимая во внимание тождество получим:

Сдвиг по фазе И-регулятора равен разности между фазовыми углами выходных и входных колебаний: Ф R = (- π/2 + 2π*t/T 0 ) - 2π*t/T 0 = - π/2 = - 90° Таким образом, И-регулятор дает запаздывание по фазе на 90° независимо от периода колебаний входного сигнала. Передаточная функция И-регулятора равна отношению амплитуд колебаний на выходе (уравнение 4.6) и на входе (уравнение 4.4): В замкнутом контуре регулирования (рис. 4.11) суммарный сдвиг по фазе объекта с запаздыванием и И-регулятора должен быть равен - π при периоде собственных колебаний Т 0, т.е.: или: Решив последнее равенство относительно Т 0, получим:

Таким образом, период собственных колебаний контура с И-регулятором в 2 раза больше периода собственных колебаний контура с П- регулятором (см. уравнение 4.2). Рисунок Блок-схема контура регулирования с И-регулятором Незатухающие колебания в контуре регулирования с И-регулятором могут возникать в том случае, если передаточная функция будет равна единице. Решив уравнение (4.7) относительно постоянной времени И- регулятора R, найдем: Таким образом, период собственных колебаний контура регулирования, состоящего из объекта регулирования с временем запаздывания, равным 1 мин, и И-регулятора, будет равен 4 мин, при постоянной времени регулятора:

Сглаживание амплитуды колебания до 1/4 от первоначальной амплитуды за время Т о можно достигнуть путем уменьшения передаточной функции или увеличения постоянной времени регулятора в два раза. Рис Затухание колебаний в контуре регулирования с чистым запаздыванием при различных R

Использование И-регуляторов позволяет устранить остаточное отклонение регулируемого параметра, присущее П-регуляторам, однако скорость регулирования в этом случае меньше. На рисунке представлена реакция объекта регулирования, обладающего запаздыванием, на изменение нагрузки при использовании И-регулятора. При значении R = 4T d /π колебания в контуре затухают до ¼ начальной амплитуды за один период. Рис Влияние времени интегрирования регулятора на переходный процесс при изменении нагрузки

§ Пропорционально-интегральное регулирование Этот вид регулирования, также называемый изодромным, представляет собой совокупность свойств статического (П-регулятор) и астатического (И-регулятор) регулирования, благодаря чему устраняются недостатки П-регулирования (остаточное отклонение), а скорость регулирования (по сравнению с И- регулированием) выше.

Регулируемый параметр уровень воды в емкости 1. Регулируемая среда проходит через параллельно установленный П-регулятор 5 и И- регулятор 4 и поступает в объект регулирования емкость 1 - через емкость 2. При увеличении расхода жидкости из емкости 1 уровень жидкости в ней начнет понижаться, что сразу же отразится на положении клапана статического регулятора 5 и замедлено - на положении клапана астатического регулятора 4. Оба регулятора сразу придут в действие, но характер их работы будет различным: статический регулятор «догоняет» понижающийся уровень в емкости 1 и прекратит его снижение, увеличив подачу жидкости. Из-за разности давлений, имеющейся на вентиле 3, астатический регулятор (И- регулятор) будет продолжать увеличивать приток жидкости в бак, и уровень в баке начнет увеличиваться. Процесс регулирования закончится в момент, когда уровень в баке придет к первоначальному уровню. При новом состоянии равновесия между стоком и притоком жидкости клапан П-регулятора займет прежнее положение, соответствующее заданному параметру, а клапан И-регулятора перейдет в новое положение, соответствующее изменившейся нагрузке объекта. При нарушении равновесного состояния в регулируемой системе изодромные регуляторы действуют вначале как пропорциональные, при этом регулирующий орган перестанавливается в положение, соответствующее значение регулируемого параметра, а затем как интегральный, и регулирующий орган подвергается дополнительной настройке.

В изодромных регуляторах скорость перемещения регулирующего органа зависит от величины и скорости изменения регулируемого параметра: График разгона ПИ-регулятора представлен на рисунке Оптимальному режиму работы изодромного регулятора соответствует значение постоянной времени Т 0, которое находится, в интервале между двумя найденными для П- и И-регуляторов значениями Т 0, т.е. 4T d >T o >2T d, и зависит от установленных значений диапазона пропорциональности Р и времени изодрома регулятора R.

Для уменьшения амплитуды возникающих колебаний регулятора до 1/4 ее начальной величины за время Т 0 необходимо соблюдение следующих условий, зависящих от способа регулирования: Следовательно, передаточная функция регулятора, удовлетворяющего этим условиям, должна быть равна 0,5. Пропорциональная и интегральная составляющие передаточной функций изодромного регулятора G PR находятся в разных фазах, т.е. между ними имеется сдвиг по фазе на 90, поэтому результирующая передаточная функция G PR может быть найдена как сумма векторов обеих составляющих (рисунок 4.16). Рисунок Диаграмма векторов передаточных функций ПИ-регулятора

Если и фазовый угол пропорциональной составляющей Ф р = 0, а интегральной составляющей Ф R = -π/2, то передаточная функция ПИ-регулятора: Зависимость передаточной функции ПИ-регулятора от безразмерного параметра приведенная на рисунке 4.17, может быть приближенно аппроксимирована двумя асимптотами, сопрягающимися при T 0 =2πR или T 0 /2πR=1

ПИ-регулятор имеет два настроечных параметра (Р и R) и оба влияют на приведение контура в равновесное состояние. Существует бесконечное множество комбинаций диапазона пропорциональности Р и времени изодрома R, обеспечивающих затухание колебаний до 1/4 начальной амплитуды за период Т д при условии, что G PR 0,5. Некоторые из этих взаимозависимых значений приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1. Значения диапазона пропорциональности Р и времени изодрома R, необходимые для сглаживания амплитуды колебаний до 1/4 первоначальной величины за период Т 0 Ф R градФ d градarctg (Ф R )Т0 /2πRТ0 /2πRR/T d Р ,002, ,2682,181, ,5772,400, , , ,7323,000, ,7323,430, ,001,27

На рис показано влияние изменения нагрузки на переходный процесс в случае пропорционально-интегрального регулирования при различных значениях параметров настройки регулятора. Как. видно из рисунка, сглаживание колебаний до ¼ начальной амплитуды в течение одного периода может быть достигнуто при различных комбинациях Р и R, в зависимости от угла запаздывания Ф d (т.е. времени запаздыва - ния T d ).

§ 4.5. Пропорционально-дифференциальное регулирование Этот вид регулирования еще называют пропорциональным предварением. Закон регулирования ПД-регулятора имеет вид: где: Т n - время дифференцирования или время предварения; е - отклонение регулируемого параметра. Регулирующее воздействие ПД-регулятора пропорционально степени отклонения регулируемого параметра е от заданного значения и скорости изменения этого отклонения. При отклонении регулируемого параметра регулирующий орган перемещают с некоторым опережением, пропорциональным скорости изменения параметра. При уменьшении скорости изменения параметра регулирующее воздействие дифференциальной составляющей уменьшается, т.е. она действует весьма кратковременно (рисунок 4.19).

Рисунок График, разгона ПД-регулятора Однако ПД-регулятор, как и П-регулятор обладает остаточным отклоне - нием, величина которого зависит от Р. Передаточная функция Передаточная функция G = 100/P и время предварения Т n являются настроечными параметрами ПД-регулятора. Такой регулятор устанавливается на инерционных объектак с большим запаздыванием и его использование позволяет значительно уменьшать амплитуду колебаний регулируемой величины в переходном процессе при изменении нагрузки.

§ 4.6. Пропорционально-интегрально-дифференциальное регулирование Регулирующее воздействие ПИД-регулятора пропорционально отклонению параметра от заданного значения, интегралу и скорости этого отклонения. Закон регулирования ПИД-регулятора имеет вид: ПИД-регулятор работает с предварением и не имеет остаточного отклонения, является астатическим изодромным регулятором с предварением. Кривая разгона регулятора представлена на рисунке 4.20.

Параметрами настройки ПИД-регуляторов являются: передаточная функция регулятора 100/P, время изодрома R и время предварения Т n. ПИД-регуляторы устанавливаются на инерционных объектак с большим запаздыванием, у которых нагрузка изменяется часто и резко. § 4.7. Анализ переходных процессов регуляторов при изменений нагрузки При изменении нагрузки в контуре регулирования при определенных условиях могут возникать колебательные процессы, которые могут быть незатухающими или затухающими с той или иной интенсивностью. При этом характер протекания переходных процессов зависит и от вида регулятора. При расчете будем исходить из критерия оптимального затухания переходных процессов регуляторов, т.е. амплитуда колебаний в системе за один период должна уменьшаться до 1/4 начальной амплитуды.

При пропорциональном регулировании уравнение для расчета переходных процессов должно содержать три составляющих: периодическую и апериодическую, затухающие во времени и постоянную составляющую, т.е. остаточное отклонение параметра, присущее пропорциональным регуляторам. Поэтому для пропорционального регулятора переходные значения выходного параметра С могут быть рассчитаны по уравнению: где Td -время запаздывания; Т0 - период собственных колебаний контура. Графики переходных процессов на рис Использование.интегрального регулятора позволяет устранить остаточное от клонение регулируемого параметра, свойственное П-регуляторам. Однако скорость регулирования- у И-регуляторов ниже. Скорость приведения регулируемого параметра к заданному значению падает с увеличением постоянной интегрирования R. При значении R = 2T d /π колебания в системе затухают до 1/4 начальной амплитуды за один период. Переходные процессы в контуре регулирования с И-регулятором при наличии запаздывания на T d описываются уравнением: где C о - значение выходной величины при t = 0. Графики переходных процессов на рис

При пропорционально-интеральном регулировании устраняются недостатки П-регулирования (остаточное отклонение регулируемого параметра) и И- регулирования (невысокая скорость регулирования). Уравнение для расчета переходных процессов при изменении нагрузки содержит пропорциональную и интегральную составляющие, каждая из которых состоит из гармонической и апериодической составляющих: Графики переходных процессов изодромного регулятора представлены на рисунке 4.18.

САР

Основы автоматического регулирования 1.1. Структурная схема простейшей замкнутой системы регулирования Система регулирования находится в режиме автоматического управления. В процессе работы система автоматического регулирования сравнивает текущее значение измеряемого параметра Х с задающим воздействием (заданием SP, уставкой) и устраняет рассогласование E (Е=SP-PV). Внешние возмущающие воздействия Z также устраняются регулятором. Например, при регулировании температуры в печи, задающим воздействием (заданием SP) является требуемая температура воздуха, измеряемым и регулируемым параметром X - текущая температура в печи, рассогласованием E является их разница, управляющей величиной Y является напряжение, подаваемое на нагревательный элемент (например, ТЭН).

Требования к промышленным САР Для того чтобы технологическое оборудование работало с высоким КПД, с заданной производительностью, давало продукцию необходимого качества и работало надежно, необходимо поддерживать величины, характеризующие процесс, в большинстве случаев постоянными. Эта важнейшая задача возложена на промышленные системы автоматического регулирования и стабилизации технологических процессов. В системах стабилизации - сигнал заданной точки (задания, уставка регулятора) остается постоянным в течении длительного времени работы. Другой, не менее важной задачей, является задача программного управления технологическим агрегатом, что обеспечивает переход на новые режимы работы. Решение этой проблемы осуществляется с помощью той же системы автоматической стабилизации, задание которой изменяется от программного задатчика. Для большинства промышленных САР необходима достаточно высокая точность их работы ±(1- 1.5)%. При этом главное назначение системы стабилизации - это компенсация внешних возмущающих воздействий, действующих на объект управления.

Основные элементы: ЗДН – задатчик, ПРЗ – программный задатчик, ЭС - элемент сравнения, РЕГ - автоматический регулятор, УМ - усилитель мощности, АР - автоматический регулятор (современные регуляторы обьединяют узлы ЗДН, ПРЗ, РЕГ, УМ, НП), ИМ - исполнительный механизм, РО - регулируемый орган, ОСп - обратная связь по положению регулирующего органа, ОУ - объект управления, Д – датчик (первичный преобразователь), НП - нормирующий преобразователь(в современных микропроцессорных системах управления и регуляторах, является встроенным входных устройством). Обозначение переменных: SP- задающий сигнал, E - ошибка регулирования, Up- выходной сигнал регулятора, Uу - управляющее напряжение, h - перемещение регулирующего органа, Qт- расход вещества или энергии, Z - возмущающие воздействия, PV=X - регулируемый параметр (например температура), Yос - сигнал обратной связи (выходное напряжение или ток преобразователя). Структурная схема одноконтурной САР промышленным объектом управления

Основные требования к промышленным САР: 1)Промышленная САР должна обеспечивать устойчивое управление процессом во всем диапазоне нагрузок на технологический обьект. 2)Система должна обеспечивать в окрестности рабочей точки заданное качество процессов управления (время переходного процесса, перерегулирование и колебательность). 3)Система должна обеспечивать в установившемся режиме заданную точность регулирования. Желательно обеспечить нулевую статическую ошибку регулирования. Все эти условия будут выполнятся, если объект управления является стационарным, либо его вариации параметров достаточно малы и компенсируются запасами устойчивости системы. Современные промышленные регуляторы обеспечивают устойчивый процесс регулирования подавляющего большинства промышленных объектов при условии, что правильно выбраны настройки регулятора. Чем выше требования к качеству регулирования, тем более сложной и дорогой будет система. Поэтому при создании САР стремятся найти разумный компромисс между качеством регулирования и затратами на автоматизацию технологического процесса.