Математическое обеспечение САПР Содержание: –Определение и требование к МО –Способы повышения экономичности –Методы анализа –Анализ чувствительности –Статистический анализ –Методы оптимизации в САПР

Математическое обеспечение САПР состоит из математических моделей объектов проектирования, методов и алгоритмов выполнения проектных операций и процедур

При выборке и разработке моделей, методов и алгоритмов необходимо учитывать требования, предъявляемые к МО

Универсальность Под универсальностью МО понимается его применимость к широкому классу проектируемых объектов. Одно из отличий расчетных методов в САПР от ручных расчетных методов - высокая степень универсальности.

Алгоритмическая надежность Методы и алгоритмы, не имеющие строгого обоснования, называют эвристическими. Отсутствие четко сформулированных условий применимости приводит к тому, что эвристические методы могут использоваться некорректно. В результате либо вообще не будет получено решение (например, из-за отсутствия сходимости), либо оно будет далеким от истинного.

Свойство компонента МО давать при его применении в этих условиях правильные результаты называется алгоритмической надежностью.

Количественной оценкой алгоритмической надежности служит вероятность получения правильных результатов при соблюдении оговоренных ограничений на применение метода. Если эта вероятность равна единице или близка к ней, то говорят, что метод алгоритмически надежен

С проблемой алгоритмической надежности тесно связана проблема обусловленности математических моделей и задач. О плохой обусловленности говорят в тех случаях, когда малые погрешности исходных данных приводят к большим погрешностям результатов.

На каждом этапе вычислений имеются свои промежуточные исходные данные и результаты, свои источники погрешностей. При плохой обусловленности погрешности могут резко возрасти, что может привести к снижению точности.

Для большинства компонентов МО важным свойством является точность, определяемая по степени совпадения расчетных и истинных результатов. Алгоритмически надежные методы могут давать различную точность.

Оценка точности В большинстве случаев решение проектных задач характеризуется совместным использованием многих компонентов МО, что затрудняет определение вклада в общую погрешность каждого из компонентов; оценка точности производится с помощью специальных вычислительных экспериментов. В этих экспериментах используются специальные задачи, называемые тестовыми.

Математические модели К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности

МОДЕЛЬ Адекватность – соответствие целям исследования Соответствие решаемой задаче Упрощение при сохранении существенных свойств системы Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели

Универсальность ММ Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта.

Точность ММ Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Адекватность ММ Адекватность ММ - способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных - области адекватности (АО) математической модели

Экономичность ММ Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов. Чем они меньше, тем модель экономичнее.

Классификация математических моделей

Модель – отображение существенных характеристик и взаимодействий реальных систем Дескриптивные модели – как это происходит? Нормативные модели – как это должно быть? По целям построения Объект исследования Структурные модели – отражают строение и внутренние параметры объекта Функциональные – отражают поведение объекта Аппарат моделирования Аналитические Имитационные

Классификация математических моделей Структурные/Функциональные

Структурные ММ Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические.

Структурные ММ В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т.п.

Топологическая ММ

Структурные ММ В геометрических ММ отображаются свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; совокупностью алгебраических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта; графами и списками, отображающими конструкции из типовых конструктивных элементов,

Геометрическая ММ

Функциональные ММ Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.

Функциональная ММ

Классификация математических моделей Структурные/Функциональные Полные ММ / макромодели

Полная ММ Полная модель - эта модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т.е. состояние всех элементов проектируемого объекта).

Макромодель - ММ Макромодель - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.

Классификация математических моделей Структурные/Функциональные Полные ММ / макромодели Аналитические / Алгоритмические

Аналитические ММ Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров.

Алгоритмические ММ Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.

Алгоритмическая ММ

Имитационная ММ Имитационная ММ - это алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект.

Имитационная ММ

Иерархическое представление ММ Сегментация математические модели на микро-, макро- и мета уровнях Это позволяет распределять работы по проектированию сложных объектов между подразделениями проектной организации, что способствует эффективности и производительности труда проектировщиков

ММ на микроуровне Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывном пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне - дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрические потенциалы и напряжения, давления и температуры и т.п.

ММ на Макроуровне На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ММ на макроуровне отражают силы и скорости в механических системах, напряжения и токи в электрических системах, давления и расходы жидкостей и газов в гидравлических и пневматических системах и т.п.

ММ на мета уровне На мета уровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на мета уровне по- прежнему представляются системами ОДУ. В этих моделях не описываются внутренние фазовые переменные элементы, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов.

Методы анализа ММ Методы анализа: –Одновариантный (анализ в точке пространства переменных X и Q), специальное МО –Многовариантный (анализ в окрестности заданной точки), общее МО Анализ чувствительности Статистический анализ

Анализ чувствительности Цель определение коэффициентов чувствительности - коэффициентов влияния. Sij = ðYi / ðXj (чувствительность переменной Y к изменению параметра Х) Применение:

Анализ чувствительности 1. Задачи оптимизации градиентными методами F = grad (ðY/ ðX1, ðY/ ðX2,..., ðY/ ðXn). 2. Анализ допусков ΔXi = ΔY / Si. 3. Анализ отклонений ΔY = Si * ΔXi.

Анализ чувствительности –Метод малых приращений – наиболее универсальный метод (замена дифференциалов приращениями) Sij = ðYi / ðXj ΔY / ΔX. - Алгоритм: 1) Анализ при номинальном значении Хном => Уном 2) Анализ при приращении: Хi ном + ΔХ => Yi 3) Расчет: Si = Yi -Yном / ΔХ Пункты 2 и 3 повторяются N раз, i=1,,,,N, N - число параметров, по которым вычисляется чувствительность.

Анализ чувствительности Метод малых приращений: - Достоинства 1. Универсальность (применимость к любым объектам) 2. Простота реализации. -Недостатки 1. Низкая точность (из-за использования приближения) 2. Большие вычислительные затраты, т. к. требуется N+1 анализов, если N велико, то очень большие вычислительные затраты.

Анализ чувствительности Прямой и вариационный методы. Эти методы анализа чувствительности менее универсальны, чем метод приращений, но позволяют повысить точность или снизить затраты машинного времени. Они основаны на интегрировании специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, относятся к специальному математическому обеспечению и применяются в подсистеме схемотехнического проектирования.

Анализ чувствительности Регрессионный метод. В регрессионном методе анализа чувствительности коэффициенты чувствительности отождествляются с коэффициентами регрессии, рассчитываемыми в процессе статистического анализа по методу Монте- Карло. Этот метод требует выполнения очень большого объема вычислений; его применение выгодно, если в каком-либо маршруте проектирования нужно решать задачи как статистического анализа, так и анализа чувствительности.

Статистический анализ Цель статистического анализа - получение оценок рассеяния выходных параметров Y и вероятностей выполнения заданных условий работоспособности для проектируемого объекта.

Статистический анализ Причинами рассеяния выходных параметров Y являются нестабильность внешних параметров Q и случайный характер внутренних параметров Х. Результатами статистического анализа могут быть гистограммы выходных параметров, оценки математических ожиданий Mj и среднеквадратичных отклонений... В качестве исходных данных фигурируют статистические сведения о рассеянии внутренних параметров и данные ТЗ о допустимых диапазонах изменения или законах распределения внешних параметров.

Статистический анализ Статистический анализ исключительно важен, поскольку его результаты позволяют прогнозировать процент выхода годных изделий при их серийном изготовлении, т.е. оценить серийнопригодность проектируемого объекта. Если в исходных данных отразить старение внутренних параметров - их изменение в процессе эксплуатации и хранения под действием различных физико-химических факторов, то результаты статистического анализа можно непосредственно использовать для оценки надежности.

Статистический анализ Наибольшее распространение в САПР при статистическом анализе получили: метод наихудшего случая метод статистических испытаний

Метод наихудшего случая Этот метод служит для определения диапазонов возможного рассеяния выходных параметров без оценки плотности распределения этих параметров.

Метод наихудшего случая Пусть на некоторый выходной параметр у задано условие работоспособности в виде у < T. Тогда интерес представляет верхняя граница диапазона рассеяния, так как большие значения у наиболее опасны с точки зрения невыполнения условия работоспособности. Верхняя граница диапазона рассеяния достигается в наихудшем случае, когда все аргументы y = f(X) принимают самые неблагоприятные значения.

Метод наихудшего случая Алгоритм метода наихудшего случая включает в себя следующие операторы: Анализ чувствительности, в результате которого определяются коэффициенты чувствительности dy/dxi. Задание параметрам Xi самых неблагоприятных значений. Расчет выходных значений параметров при неблагоприятных внутренних.

Метод наихудшего случая Преимущество метода наихудшего случая в том, что для его применения не требуется знания законов распределения внутренних параметров. Достаточно знать лишь допуски xi. Недостаток метода в том, что результаты анализа в наихудшем случае могут ввести в заблуждение пользователя относительно реального рассеяния выходных параметров.

Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний) Этот метод позволяет получить более полные статистические сведения о выходных параметрах исследуемого объекта.

Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний) Алгоритм метода статистических испытаний включает в себя следующие основные операторы: 1. Задание значений внутренних и внешних параметров (аргументов зависимости Y от Х и Q в очередном статистическом испытании). 2. Расчет Y. 3. Накопление статистических сумм. 4. Обработка накопленных сумм для получения результатов статистического анализа.

Компьютерное имитационное моделирование Используется аппарат математической статистики Случайные события: - промежуток времени между двумя транзакциями - время обслуживания транзакции Функции распределения плотности вероятности случайных событий Равномерное распределение Нормальное распределение Гаусса Распределение Пуассона

Анализ результатов Определение целей моделирования Ранжирование факторов, определение входных и выходных параметров Поиск методов математического описания Исходный объект или процесс Математическая модель Выбор метода исследования Разработка алгоритма и программы для ЭВМ Отладка и тестирование программы Проведение численного эксперимента Уточнение модели Конец работы Выбор технологии Использование пакета математических программ Этапы компьютерного математического моделирования