Cредняя линия треугольника, средняя линия трапеции.

Определение: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. АК = КС ВЕ = СЕ КЕ – средняя линия АВС Определение: средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых её сторон. А ВС К Н Е АН = НВ КЕ = СЕ НЕ – средняя линия АВСК А В С К Е Сколько средних линий в треугольнике ? Сколько средних линий в трапеции ?

Средняя линия треугольника Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. А С В М К Дано: АВС, МК – средняя линия. Доказательство: Т. к. по условию МК – средняя линия, то АМ = МВ = ½ АВ, СК = КВ = ½ ВС. Значит, ВМ АВ ВК ВС 1 2 В – общий для АВС и МВК,, значит, АВС и МВК подобны по второму признаку подобия, следовательно, ВМК = А, значит, МК АС. Доказать: МК АС, МК = ½ АС. МК АС 1 2 Из подобия треугольников также следует, что, т. е. МК = ½ АС.

Реши задачу F R N ? А В

Реши задачу 2. 2,7 ? М А В С К

Реши задачу 3. С А В К Р Дано: АВ = 1 дм, АС = 6 см, АК = КС, АР = РВ. Найти: КР.

Нужное свойство медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. А В С А1А1 В1В1 С1С1 О Доказать: С1ОС1О АОВОСО А1ОА1ОВ1ОВ1О 2 1 Дано: АВС, АА 1, ВВ 1, СС 1 – медианы.

Доказательство: Проведём А 1 В 1. А В С А1А1 В1В1 О С1С1 По условию АА 1, ВВ 1 – медианы значит, ВА 1 = СА 1, АВ 1 = СВ 1, т. е. А 1 В 1 – средняя линия. Значит, А 1 В 1 АВ, поэтому 1 = 2, 3 = 4. Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам. Значит, их стороны пропорциональны: АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 По свойству средней линии треугольника АВ = 2 А 1 В 1, т. е. АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 2 1 Аналогично, СО С1ОС1О 2 1 Получим: С1ОС1О АОВОСО А1ОА1ОВ1ОВ1О 2 1

Средняя линия трапеции Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. А В С К М Р Дано: АВСК – трапеция, МР – средняя линия. Док-ть: МР АК, МР ВС, МР = Доказательство: О Проведём через т. М прямую МЕ АК, докажем, что МЕ пройдёт через Р. АВСК – трапеция, т.о. ВС АК, а, значит, ВС МЕ АК. Т. к. МР – средняя линия, то АМ= МВ, КР = СР. Е, МР лежит на МЕ, значит, МР АК, МР ВС. Проведём ВК. По теореме Фалеса О – середина ВК, значит, МО – средняя линия АВК, ОР – средняя линия ВСК. МР = МО + ОР = ½ АК + ½ ВС = ½ ( АК + ВС) = По теореме Фалеса МЕ пересечёт СК в середине СК, т. е. в точке Р.

Реши задачу 7 А В С К О Е 15 Найти длину средней линии ОЕ трапеции АВСК по данным на чертеже:

Реши задачу Найти длину верхнего основания трапеции УСРН по данным на чертеже: У С Р Н А В 9 4

Реши задачу Найти площадь трапеции УСРН по данным на чертеже: У С Р Н А В 9 К 6

Решение задачи B ромбе АBСD О- точка пересечения диагоналей, Е и F - середины сторон ВС и DС. Докажите, что ЕF = ВО, ЕF АС A B D F E O C A B D F E O C Дано: АВСD - ромб, О– точка пересечения диагоналей, Е - середина ВС, F - середина DС. Доказать: ЕF = ВО, ЕF АС. Доказательство: Так как АВСD - ромб, то ВО = ОD = ½ ВD, ВD АС. значит, ЕF = ½ ВD, и, следовательно, ЕF = ВО. Пo свойству средней линии треугольника: ЕF ВD, Рассмотрим ВСD. Так как Е–середина ВС, F - середина DС, то ЕF- средняя линия ВСD, a по доказанному ВD АС, значит, и ЕF АС, что и т. д.