Комплексные числа Автор: Алина Гончарик ученица 10Б класса МОУ СОШ 2 г. Амурска Руководитель: Горбунова Ирина Анатольевна, учитель математики, МОУ СОШ 2 г. Амурска

Проблема При решении кубических уравнений должно быть 3 корня, т. к. после разложения многочлена на линейные множители необходимо решить квадратное уравнение. И вдруг оказывается, что D < 0, т. е. квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что кубическое уравнение вместо трёх имеет только один корень. Таким образом, возник вопрос о возможности существования неизвестного класса чисел.

Актуальность выбора темы Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Гипотеза Всякое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно n корней

Цель исследования Решение алгебраических уравнений n-ой степени

Задачи исследования Изучить историю возникновения комплексных чисел. Изучить действия на множестве комплексных чисел Рассмотреть методы решения алгебраических уравнений n-ой степени.

Предмет исследования Множества чисел

Объект исследования Комплексные числа

Методы исследования Изучение литературы Анализ Синтез

Историческая справка

Ф. Клейн ( ) «Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают всё более широкое распространение».

За два тысячелетия до н. э. в Древнем Вавилоне и Древнем Египте уже использовались дроби.

В 1545 году в своём труде «Великое искусство» предложил ввести числа новой природы. Он назвал эти величины «чисто отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими.

В 1637 году ввёл название «мнимые числа»

В 1777 году предложил использовать первую букву французского слова Imaginaire (мнимый) для обозначения числа

Определение Комплексными числами называются выражения вида а + вi, где а - действительная часть комплексного числа, в - мнимая часть, i - мнимая единица

Действия на множестве комплексных чисел

Сложение комплексных чисел Определение Суммой двух комплексных чисел а + вi и с + di называется комплексное число (a + с) + (в + d)i При сложении комплексных чисел их действительные части и коэффициенты при мнимых частях складываются.

ПРИМЕРЫ (3-5i)+(2+i)=3-5i+2+i=(3+2)+(-5+1)i =5-4i

Вычитание комплексных чисел Правило Чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, достаточно это вычитание произвести отдельно для действительных частей этих чисел и коэффициентов при мнимых частях (а + вi) - (с + di) = a+вi-c-di= (а - с) + (в - d)i

ПРИМЕРЫ (5+4i)-( 4i -3)=5+4i-4i+3=8+0=8 (4+7i)-(2-i)=4+7i-2+i=2+8i

Умножение комплексных чисел Определение Произведением двух комплексных чисел а + вi и с + di называется комплексное число (ac -вd) + (ad + вс)i

ПРИМЕРЫ

Деление комплексных чисел Определение Частным от деления комплексного числа Z 1 на комплексное число Z 2 называется такое комплексное число Z 3, которое при умножении на Z 2 даёт Z 1

ПРИМЕР

Тригонометрическая форма комплексного числа Алгоритм нахождения тригонометрической формы комплексного числа Z=a+bi 1. найдём а и в 2. найдём модуль комплексного числа 3. a+bi= (cos x + i sin x) x -аргумент комплексного числа. 4. найдём tg x =

Замечание При записи комплексного числа в тригонометрической форме cos и sin берутся от одного и того же угла x, равного аргументу числа Z, а между косинусом и синусом ставится знак «+».

ПРИМЕР

Решение квадратных уравнений с комплексным неизвестным

I. При решении уравнения: x+a=b, могут появиться отрицательные числа Пример: x + 4=2 X= - 2

II. При решении уравнения: ax=b, могут появиться дробные числа Пример : 2x=1 x=

III. При решении уравнения могут появиться иррациональные числа Пример:

IV. При решении уравнения действительных корней нет

ПРИМЕР Вывод: при решении этих уравнений приходиться расширять множество R чисел, добавляя к нему множество комплексных чисел.

V. В случае появления отрицательного дискриминанта полезна следующая формула : если a < 0, то

ПРИМЕР Замечание Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами по известной формуле.

Пример Д=16-413=-36, действительных корней нет Ответ: 2-3i, 2+3i.

Таким образом, мы установили, что множество действительных чисел расширено путём присоединения к нему новых чисел – комплексных. При решении уравнений n – ой степени, помимо действительных корней нужно учитывать и комплексные корни. Итак, гипотеза, которую мы выдвинули в начале своего исследования, оказалась верной.исследования Вывод

Комплексные числа Автор: Алина Гончарик ученица 10Б класса МОУ СОШ 2 г. Амурска Руководитель: Горбунова Ирина Анатольевна, учитель математики, МОУ СОШ 2 г. Амурска