Решение задач А. Прокофьев, В. Бардушкин, Москва

Журнал «Математика» 01/2013 Расстояние между двумя точками Расстояние между точками A(x 1 ; y 1 z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) вычисляется по формуле

Журнал «Математика» 01/2013 Задача 1 Найти координаты точки C на отрезке AB такой, что AC : CB = k, где A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ).

Журнал «Математика» 01/2013 Задача 2 Найти координаты точки B, если A(x 1 ; y 1 ; z 1 ),

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 1 В единичном кубе A…D 1 точки E, K и L середины ребер AA 1, CD и B 1 C 1 соответственно, а точки M и N лежат соответственно на отрезках EK и LK так, что EM : EK = 2 : 3, а LN : NK = 1 : 4. Найти длину отрезка МN.

Журнал «Математика» 01/2013 Угол между прямыми в пространстве Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется ее направляющим вектором. При нахождении угла между прямыми m и l используют формулу

Журнал «Математика» 01/2013 где и направляющие векторы прямых m и l. Угол между прямыми в пространстве Или (в координатной форме)

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 2 В единичном кубе A…D 1 найти угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F точки, расположенные на ребрах CD и C 1 D 1 так, что

Журнал «Математика» 01/2013 Способы задания плоскости Плоскость в пространстве однозначно определяется: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

Журнал «Математика» 01/2013 Составление уравнения плоскости Составив уравнение плоскости MNP, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой и заданные своими координатами M(x M ; y M ; z M ), N(x N ; y N ; z N ), P(x P ; y P ; z P ). Пусть это уравнение имеет вид ax + by + cz + d = 0, где a, b, c, d неизвестные числа. Подставим в него координаты точек M, N, P.

Журнал «Математика» 01/2013 Получим систему уравнений: Решив ее, найдем: a = pd, b = qd, c = rd (если окажется, что d = 0, то a = pc, b = qc; если d = c = 0, то a = pb). Подставив в исходное уравнение и сократив на d 0, получим уравнение рx + qy + rz + 1 = 0.

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 3 Дан единичный куб A…D 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки B, D и C 1.

Журнал «Математика» 01/2013 Найдем координаты точек: B(0; 1; 0), D(1; 0; 0), C 1 (1; 1; 1). Записав в общем виде уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0 и подставив в него координаты этих точек, получим систему уравнений: Отсюда b = –d, a = –d и c = d. Тогда уравнение плоскости BC 1 D имеет вид –dx – dy + dz + d = 0, или –x – y + z + 1 = 0. Решение

Журнал «Математика» 01/2013 Угол между плоскостями Угол между плоскостями и β, заданными соответственно уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 равен углу φ между их нормальными векторами и вычисляется по формуле

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 4 В прямоугольном параллелепипеде A…D 1 известны ребра AB = 8, AD = 6, CC 1 = 5. Найти угол между плоскостями BDD 1 и AD 1 B 1.

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 5 В правильной четырехугольной призме A…D 1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 4. На ребре AA 1 отмечена точка E так, что AE : EA 1 = 3 : 1. Найти угол между плоскостями ABC и BED 1.

Журнал «Математика» 01/2013 Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки M до плоскости можно вычислить по формуле где M(x 0 ; y 0 ; z 0 ), а плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0.

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 6 Дана правильная треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1. Сторона основания равна 2, а боковое ребро 3. Точка D середина ребра CC 1. Найти расстояние от точки C до плоскости AB 1 D.

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 7 В правильной четырехугольной призме A…D 1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка E середина ребра AA 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED 1.

Журнал «Математика» 01/2013 Расстояние от точки до прямой Рассмотрим способ вычисления расстояния от точки A до прямой l в пространстве, основанный на применении формулы расстояния от точки до плоскости. ρ(A; BDC) = ρ(A; l)

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 8 В единичном кубе A…D 1 найти расстояние от точки D 1 до прямой РQ, где Р и Q середины соответственно ребер A 1 B 1 и ВС.

Журнал «Математика» 01/2013 Угол между прямой и плоскостью Пусть введена декартова система координат, в которой уже составлено уравнение плоскости : ax + by + cz + d = 0. Выберем на прямой l две точки, A(x A ; y A ; z A ) и B(x B ; y B ; z B ). Выберем на плоскости некоторую точку C(x C ; y C ; z C ) и проведем через нее прямую l 1 || l.

Журнал «Математика» 01/2013 Пусть вектор ее направляющий вектор. Координаты точки D(x D ; y D ; z D ) определяются равенствами: x D = x C + x B – x A, y D = y C + y B – y A, z D = z C + z B – z A. Поскольку l 1 || l, то угол между прямой l и плоскостью равен углу между прямой l 1 и.

Журнал «Математика» 01/2013 Пусть точка H проекция точки D на плоскость. Тогда угол искомый, из прямоугольного треугольника CDH получим:гдеа DH находится по формуле расстояния от точки D до плоскости

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 9 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в которой AB = 5, SA = 4, точка Е середина ребра SB. Найти угол между прямой CE и плоскостью SBD.

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 10 В правильной шестиугольной призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AB 1 и плоскостью ACE 1.

Журнал «Математика» 01/2013 Расстояние между скрещивающимися прямыми Если скрещивающиеся прямые поместить в параллельные плоскости, то расстояние между этими прямыми будет равно расстоянию между построенными плоскостями, а оно равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую.

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 11 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 7, найти расстояние между прямыми AA 1 и BC 1.

Журнал «Математика» 01/2013 Пример 12 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро и сторона основания равны 5 и 3 соответственно. Точка N середина ребра SF, а точка M делит ребро SD так, что SM : MD = 1 : 3. Найти расстояние между прямыми AN и EM.