Прогрессии Арифметическая Геометрическая b n =b 1 * q n-1 b n =b 1 * q n-1 b 2 n = b n * b n +1 b 2 n = b n * b n +1 S n = b 1 * (1-q n ) / 1-q S n = b 1 * (1-q n ) / 1-q a n = a n-1 + a n+1 / 2 a n = a n-1 + a n+1 / 2 Sn = 2 a 1 + d(n-1) / 2 * n Sn = 2 a 1 + d(n-1) / 2 * n S n = n(a 1 + a n ) / 2 S n = n(a 1 + a n ) / 2 a n = a 1 + (n - 1)d a n = a 1 + (n - 1)d

Условие В результате трехкратного повышения цены на некоторый товар на одно и то же число процентов цена товара стала превышать первоначальную цену на 72,8%. На сколько процентов повышалась цена на товар каждый раз? В результате трехкратного повышения цены на некоторый товар на одно и то же число процентов цена товара стала превышать первоначальную цену на 72,8%. На сколько процентов повышалась цена на товар каждый раз? b 4 = b 1 (1+q) 3 b 4 = (1 + 0,728) * b 1 b 4 = b 1 (1+q) 3 = b 1 (1+0,728) (1+q) 3 = 1,728 q 3 = 0,728 q = 0,2 Ответ: на 20% Решение

Условие Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. р., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 к., во второй - 2 к., в третий - 4 к., в четвертый - 8 к. и т.д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки? Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. р., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 к., во второй - 2 к., в третий - 4 к., в четвертый - 8 к. и т.д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки? b k - кол-во денег, отданных богачом в каждый день Тогда b 1 =1; b 2 =2; b 3 =4,…b 30 =2 29 (копеек) Богач отдал S 30 =b 1 (q 30 -1)/ q-1 = =1( ) / 2-1 = = = =10 млн. руб. А получил богач S=30 * = 3 млн. руб. Так что богач проиграл Решение

Условие При каком значении x числа 10x + 7,4x + 6 и 2x + 3 образуют геометрическую прогрессию? При каком значении x числа 10x + 7,4x + 6 и 2x + 3 образуют геометрическую прогрессию? Согласно характеристическому свойству заданные выражения должны удовлетворять соотношению: Согласно характеристическому свойству заданные выражения должны удовлетворять соотношению: (4x + 6) 2 = (10x +7)(2x + 3) (4x + 6) 2 = (10x +7)(2x + 3) 16x x + 36 = 20x x x x + 36 = 20x x x 2 - 4x - 15 = 0 4x 2 - 4x - 15 = 0 x 1 = 2,5 x 1 = 2,5 x 2 = -1,5 x 2 = -1,5 Подставляя x1 = 2,5 в заданные выражения 10x + 7,4x + 6,2x + 3, находим соответственно: 32, 16, 8. Подставляя Подставляя x1 = 2,5 в заданные выражения 10x + 7,4x + 6,2x + 3, находим соответственно: 32, 16, 8. Подставляя x2 = -1,5 в заданные выражения находим соответственно: -8,0,0. Это не геометрическая прогрессия x2 = -1,5 в заданные выражения находим соответственно: -8,0,0. Это не геометрическая прогрессия Ответ: x = 2,5 Ответ: x = 2,5 Решение

Условие При каком значении х числа 3 х+2, 5 х-4 и 11 х+12 образуют конечную арифметическую прогрессию При каком значении х числа 3 х+2, 5 х-4 и 11 х+12 образуют конечную арифметическую прогрессию Решение Согласно характеристическому свойству заданные выражения должны удовлетворять соотношению: Согласно характеристическому свойству заданные выражения должны удовлетворять соотношению: 5x - 4 = (3x + 2) + (11x + 12) / 2 5x - 4 = (3x + 2) + (11x + 12) / 2 10x - 8 = 14x x - 8 = 14x + 14 X = -5,5 X = -5,5 При этом значении x заданные выражения принимают соответственно значения -14,5; -31,5; -48,5. Разность прогрессии равна -17 При этом значении x заданные выражения принимают соответственно значения -14,5; -31,5; -48,5. Разность прогрессии равна -17 Ответ: x = -5,5 Ответ: x = -5,5

Условие При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти двадцатый член этой прогрессии При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти двадцатый член этой прогрессии a 9 = 7a 2 a 10 = 2a a 9 = a 1 + 8d a 2 = a 1 + d a 10 = a 1 + 9d a 5 = a 1 + 4d a 1 + 8d = 7(a 1 + d) d = 6a 1 a 1 + 9d = 2(a 1 + 4d) + 5 d = a d = 6a 1 d = a Решив систему, получим: a1 = 1, d = 6 Мы получили арифметическую прогрессию: 1,7,13,19,25,31,… Требуется вычислить a20 a 20 = a d = * 6 = 115 Ответ: 115 Решение

Условие Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошёл 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м. меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь равный 5700 м? Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошёл 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м. меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь равный 5700 м? a 1 = 800 a 1 = 800 d = -25 d = -25 S n = 5700 S n = 5700 Необходимо найти – n – время движения туриста (в часах) Необходимо найти – n – время движения туриста (в часах) 5700 = 2 * (n - 1) / 2 * n 5700 = 2 * (n - 1) / 2 * n 228 = 64 - (n - 1) / 2 * n 228 = 64 - (n - 1) / 2 * n (обе части уравнения разделили на 25) (обе части уравнения разделили на 25) 456 = n(65 - n) 456 = n(65 - n) n n = 0 n n = 0 n 1 = 8 n 1 = 8 n 2 = 57 n 2 = 57 Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений n выбираем первое: n = 8 Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений n выбираем первое: n = 8 Проверим: = 5700 Проверим: = 5700 Ответ: турист был в пути 8 часов. Ответ: турист был в пути 8 часов. Решение

Условие Найдите сумму всех четных трехзначных чисел Найдите сумму всех четных трехзначных чисел a 1 = 100 a n = 998 d = = (n-1) * = 2 n +98 n = 450 S 450 = 450(a ) / 2 = = 225 * ( ) = Ответ: Решение