Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А β, B β,

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Аксиома 1 Аксиома 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома 3 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Аксиома 1 (Следствие) Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна. Аксиома 1 (Следствие) Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. α β

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a c и b c, то a b).

Теорема 1 Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Теорема 2 Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема 3 Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку. Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Вели α β и они пересекаются с γ, то а b. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Если α β и AB CD, то АВ = CD. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Прямоугольная, или Декартова система координат наиболее простая и поэтому часто используемая система координат на плоскости и в пространстве. Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также Декартова система координат.

Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, пересекающиеся в точке O. Через каждую пару прямых проведем плоскости. Получим три плоскости xy, xz и yz. Данные прямые x, y и z называются координатными осями. Плоскости xy, xz и yz называются координатными плоскостями. Координатой x точки A называется число, равное абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка Ax лежит на положительной полуоси x, отрицательное, если на отрицательной полуоси. Координаты точки A в пространстве записываются так: A(x;y;z)

Введём на плоскости декартовы координаты x Оу. Преобразование некоторой фигуры F, при котором произвольная ее точка А (х;у) переходит в другую точку А (х+a; y+b), где а и b постоянные, называется параллельным переносом; Параллельный перенос есть движение. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила. Геометрически векторы изображаются направленными отрезками. Направленный отрезок называется вектором. Если начало вектора точка А, а его конец точка В, то вектор обозначается или.

Вектор характеризуется следующими элементами: 1) начальной точкой (точкой приложения); 2 )направлением; 3) длиной («модулем вектора»). От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос. Нулевой вектор точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления. Обозначается:.

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. АВСD параллелограмм, Два ненулевых вектора называются коллинеарныееми, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы и коллинеарныее и их лучи сонаправлены, то векторы и называются сонаправленными. коллинеарныеее векторы:

Если векторы и коллинеарныее и, то существует число k такое, что. причем если k > 0, то векторы и сонаправленные, если k < 0, то противоположно направленные. е

Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство:

Переместительны й закон Сочетательный закон Переместительный закон Сочетательный закон

Применяется, если нужно найти сумму трех или большего числа векторов. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. От произвольной точки О отложен вектор затем от точки А отложен вектор и, наконец, от точки В отложен вектор В результате получается вектор

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор,, длина которого равна,, причем векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при k < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Сочетательный закон Первый распределительный закон Второй распределительный закон

Векторы называются компланарныйми, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарный. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарныеех, также компланарный. Три произвольных вектора могут быть компланарныйми (лежать в одной плоскости) или некомпланарныйми (не лежать в одной плоскости).

Если вектор можно разложить по векторам и, т.е. представить в виде где х и у некоторые числа, то векторы, и компланарные.

Сумма трех некомпланарныйх векторов равна вектору, изображаемому направленной диагональю параллелепипеда, построенному на этих векторах.

Теорема: Любой вектор на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде двух любых неколлинеарныеех векторов и : Числа x и y называются координатами вектора. Векторы и называются базисом вектора на плоскости.

Базисом пространства называют любые три некомпланарныйх вектора, взятые в определенном порядке Теорема: Любой вектор на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых неколлинеарныеех векторов, и : : Числа x, y и z называются координатами вектора в данном базисе. В этом случае пишут: