1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ 3. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ 4. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ Первообразная. Геометрический смысл первообразной

1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ Под дифференцированием функции f (х) мы понимаем нахождение ее производной f (х). Нахождение функции f (х) по заданной ее производной f (х) называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования обратно операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной f (х) находят (восстанавливают) функцию f (х). Например, пусть f (х) = 4 х 3. Следует найти f (х). Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно увидеть, что f (х)=х 4. Действительно, (х 4 )' = 4x 3.

f (х) находится неоднозначно, ведь в качестве f (х) могут быть использованы и такие функции, как f (х) = х 4 + 3, f (х)= х 4 6, и др., так как производная каждой из данных функций равна 4 х 3. Все эти функции отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Общее решение задачи можно записать в виде f (х)= х 4 +С, где С произвольное действительное число. Любую из найденных функций f (х) называют первообразной для функции f '(х) = 4 х 3.

Определение. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F (х)=f(x). Например, функция F(x)=x 2 есть первообразная для функции f(x)=2x на промежутке (-,+), так как для всех действительных х справедливо равенство F (х)=(х 2 )=2 х Множество всех первообразных для функции f(x) можно представить в виде F(x)+С, где С – любое действительное число.

Упражнение с решением Доказать, что функция F (х) есть первообразная для функ­ции f (х) на заданном промежутке, если F (х)=3 х 4, f (х)=12 х 3, (-,+). Решение. Так как F (x) = 3 х 4, то F (х)= (3 х 4 )'= 12 х 3 = f(x) для всех х, что и требовалось доказать.

2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ Теорема. Если функция F есть первообразная для функции f на промежутке X, то при любой постоянной С функция F(x)+С также является первообразной для функции f на промежутке X. Любая первообразная функции f на промежутке X может быть записана в виде F (х) + С. Какую бы постоянную в этой формуле ни подставить вместо С, получится первообразная для функции f. Выражение F(x)+С называют общим видом первообразных для функции f.

Геометрически основное свойство первообразных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции f (х) получаются из любого из них путем параллель­ного переноса вдоль оси Оу

Таблица первообразных для некоторых функций:

упражнения с решениями

3. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ 1. Если F есть первообразная для f, a G первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g, т. е. (F + G)' = f + g.

2. Если F есть первообразная для f, a k постоянная, то kF есть первообразная для kf, т. е. (kF)' = kf.

Например y=sin(3x-4)

4. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ Криволинейной трапецией называется фигура, ограничен­ная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f, осью Ох и прямыми х = а и х = b.

Теорема. Пусть f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f па интервале, содержащем отрезок [a; b], то S = F(b) F (а).

упражнения с решениями Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 2 х х 2 и у = 0.

Решение. Для функции у = 2 х х 2 первообразная есть F(x) = x 2 –1/3 х 3. Найдем точки пересечения кривой 2 х х 2 с осью абсцисс: 2 х х 2 = 0, х = 0, х = 2, т. е. (0; 0) и (2; 0). Значит, а = 0, b = 2. Искомую площадь находим по формуле: S = F(b)-F(a)= =F (2)-F(0) = 4 – 8/3 – 0 + 0=4/3