Основні поняття У математиці матрицею називають прямокутну таблицю, у кожній клітинці якої записане число. Їх називають елементами матриці А11,1=2009 А 6, 2 =201 А 9,3 = Одинична матриця На головній діагоналі стоять нулі, всі інші елементи матриці - 0. Е=

Операції з матрицями А=10А= Множення на коефіцієнт Додавання матриць А= В= А+В=

23 45 Операції з матрицями МНОЖЕННЯ 1 1 А=А= В= 2*1+3*1=5 4*1+5*1=9 А*В = А=А= В=В= 55 99

23 45 Операції з матрицями МНОЖЕННЯ 4 6 А=А= В= 2*4+3*6=26 4*4+5*6=46 А*В = А=А= В=В= А*В =

23 45 Операції з матрицями МНОЖЕННЯ 1 0 А=А= В= 2*1+3*0=2 4*1+5*0=4 А*В = А=А= В=В= Одинична матриця

71 65 Операції з матрицями МНОЖЕННЯ 6 8 А=А= В= 7*6+1*8=50 6*6+5*8=76 А*В = А=А= В=В= А*В = 2*4+3*5=23 4*4+5*5=41 2*2+3*3=13 4*2+5*3=

Приклади на множення матриць Помножити матриці В * А. Порівняти з попереднім результатом А * В А=А= В=В= В*А = 4*2+2*4=16 5*2+3*4=22 4*3+2*5=22 5*3+3*5=30 А*В = В*А = Добуток матриць не комутативний

Примітки до множення матриць 1. З означення добутку матриць А * В випливає, що кількість стовпців у матриці А має дорівнювати кількості рядків у матриці В. Якщо розмірність матриць цій умові не задовольняє, то перемножити такі матриці неможливо! 2. Якщо матрицю розмірності М Х К помножити на матрицю розмірності К Х Р, то отримаємо матрицю розмірності М Х Р.

Обернена матриця і визначник матриці Матриця А -1 називається оберненою до матриці А, якщо А -1 *А=Е, де Е – одинична матриця. Формули для обчислення оберненої матриці вивчаються у вищій школі. Не для всіх матриць існує обернена матриця. Щоб визначити чи існує обернена матриця використовують визначник матриці. |А| - позначення визначника матриці. Якщо визначник заданої матриці дорівнює нулю, то оберненої матриці до заданої матриці не існує А=А= | А | = 2*5-4*3= В=В= |В| = 4*3-2*5=2

Обчислення визначника матриці 3 Х А=А= |А| = Дана матриця А, обчислити для неї визначник |А| А=А= Коефіцієнти для формули * * * |А| = 3*(1*0-6*2)-4*(6*0-4*2)+5*(6*6-4*1)=

Обчислення визначника матриці 3 Х А=А= |А| = Дана матриця А, обчислити для неї визначник |А| А=А= Коефіцієнти для формули * * * |А| = 3*(1*0-6*2)-6*(4*0-6*5)+4*(4*2-1*5)=

Операції з матрицями в Excel формул, створених користувачем всі операції над матрицями спеціальної вставки множення на коефіцієнт і додавання матриць спеціальних функцій множення матриць, визначник матриці, обернена матриця Операції з матрицями можна виконувати за допомогою:

Множення матриць на коефіцієнт за допомогою формул 1. Розмістити елементи матриці у суміжному діапазоні клітинок. 2. Записати у окрему клітинку коефіцієнт. 3. Виділити кольором діапазон суміжних клітинок на аркуші, у які отримаємо результат множення матриці на коефіцієнт. 4. Ввести у верхню ліву клітинку формулу множення елементу матриці з відповідного верхнього лівого кута на коефіцієнт. Адреса клітинки коефіцієнта буде абсолютною, а елемента матриці відносною. 5.Скопіювати формулу методом автозаповнення у всі інші клітинки виділені кольором.

Додавання матриць за допомогою формул 1. Розмістити елементи матриць у суміжному діапазоні клітинок. 2. Виділити кольором діапазон суміжних клітинок на аркуші, у які отримаємо результат додавання матриць. 3. Ввести у верхню ліву клітинку формулу додавання елементів матриць з відповідного верхнього лівого кута. 4.Скопіювати формулу методом автозаповнення у всі інші клітинки виділені кольором.

Множення матриць за допомогою формул 1. Розмістити елементи матриць у суміжному діапазоні клітинок. 2. Виділити кольором діапазон суміжних клітинок на аркуші, у які отримаємо результат множення матриць. 3. Ввести у верхню ліву клітинку формулу множення елементів матриць з відповідного верхнього лівого кута. Адреси клітинок рядка для елементів першої матриці будуть відносні, а адреси клітинок стовпця для елементів другої матриці будуть абсолютні 4.Скопіювати формулу методом автозаповнення вниз у всі інші клітинки виділені кольором.

Обчислення визначника матриці за формулою 1.Розмістити елементи матриці у суміжному діапазоні клітинок. 2.В окрему клітинку аркуша ввести формулу за методом розібраним раніше.

Множення на коефіцієнт допомогою спеціальної вставки

Додавання матриць за допомогою спеціальної вставки

Завдання 1 Відкрити файл Матриці.xls Підготувати аркуш матр_формули для наступних операцій над матрицями А і В 1. Множення на коефіцієнт відповідно варіанта 2. Додавання матриць 3. Множення матриць 4. Обчислення визначника матриці. 10 А= В=

Завдання 2 Відкрити файл Матриці.xls Перейти на аркуш матр_спец_вставк а Використовуючи спеціальну вставку виконати наступні операції над матрицями А і В 1. Множення на коефіцієнт відповідно варіанта 2. Додавання матриць 10 А= В=

Функції над матрицями в Excel Добуток матриць МУМНОЖ Визначник матриці МОПРЕД Обернена матриця МОБР Результат числоРезультат матриця, Кількість рядків, як у першій матриці, кількість стовпців як у другій матриці. Результат матриця такого розміру як і задана матриця Для формування результату матриця використовуємо CTRL+Shift+Enter

МОПРЕД

МУМНОЖ

МОБР

Завдання 3 За допомогою функцій Excel виконати наступні операції над матрицями А і В 1. Множення матриць 2. Обчислення визначника матриці. 3. Обчислити обернену матрицю до заданої. 4. Обчислити добуток оберненої матриці і заданої матриці. 10 А= В=

Розв'язання системи лінійних рівнянь 2 способи ( з використанням операцій з матрицями) 1)За допомогою визначників матриці 2)За допомогою оберненої матриці 3х1+4х2+5х3=10 6х1+х2+2х3=8 4х1+6х2+4х3= Виписуємо коефіцієнти перед невідомими у матрицю А, а значення справа у В, невідомі у Х. Система рівнянь буде мати матричний вид. 1)За допомогою визначників матриці А= В=В= Х=Х= х1 х2 х3 А*Х=В

Продовження способу А1= А2= А3= Сформуємо 3 додаткові матриці, де замінимо у першій стовпчик 1 значеннями з матриці В, у другій стовпчик 2 значеннями з матриці В, у третій стовпчик 3 значеннями з матриці В. 3. Обчислимо визначники для матриць А, А1, А2, А3 за допомогою функції МОПРЕД. |А1| =92|А2| =256|А3| =-116|А| =72 4. Розділимо визначники матриць А1, А2, А3 на визначник матриці А і отримаємо відповідно значення х1, х2,х3. х11,278 х23,556 х3-1,61

За допомогою оберненої матриці -0,110,194 0,04 2 A -1 =-0,22-0,111 0,33 3 0,444-0,028-0,29 1. Обчислимо обернену матрицю для матриці А, яка складається з коефіцієнтів перед невідомими у системі рівнянь. 3х1+4х2+5х3=10 6х1+х2+2х3=8 4х1+6х2+4х3= А= В=В= Х=Х= х1 х2 х3 Обернена матриця 2. Множимо обернену матрицю на матрицю В і отримаємо, матрицю розв'язку Х. х1 1,278 х2 3,556 х3 -1,611

Практична робота 12 Завдання Розв'язати в табличному процесорі 2 системи лінійних рівнянь за допомогою операцій над матрицями двома способами. Перевірити отриманий результат для обох завдань. 20,4 0,340,4 0,1 5 1,6 7,1 -14,7 А) Б)