На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты. В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

Пример 1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна а см, а его площадь равна S см 2. Для каждого значения переменной а можно найти соответствующее ему значение переменной S. Так, например: если а = 3, то S = 3 2 = 9; если а=15, то S=15 2 = 225; если а = 0,4, то S = 0,4 2 = 0,16; если а = 0,08, то S = 0,08 2 = 0,0064. Зависимость переменной S от переменной а выражается формулой S = a 2 (по смыслу задачи а>0). Переменную а, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями а, называют зависимой переменной.

Пример 2. Путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения. Обозначим время движения автомобиля (в часах) буквой t, а пройденный путь (в километрах) буквой s. Для каждого значения переменной t, где t>0, можно найти соответствующее значение переменной s. Например: если t = 0,5, то s = 50·0,5 = 25; если t = 2, то s = 50·2 = 100; если t = 3,5, то s = 50·3,5 = 175. Зависимость переменной s от переменной t выражается формулой s = 50 t. В этом примере t является независимой переменной, a s зависимой переменной.

Пример 3. На рисунке изображен график температуры воздуха в течение суток. С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0<t<24, можно найти соответствующую температуру р (в градусах Цельсия). Например: если t = 7, то р = -4; если t=12, то р=2; если t=17, то р = 3; если t = 22, то р = 0. Здесь t является независимой переменной, а р зависимой переменной.

Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость для некоторого региона показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m соответствующая стоимость проезда в рублях): По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2,..., 9, можно найти соответствующее значение m. Так, если n = 2, то m = 10; если t = 6, то m = 36; если n = 9, то m = 54. В этом случае n является независимой переменной, a m зависимой переменной. n m

В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Например, область определения функции в примере 1 состоит из всех положительных чисел, а в примере 3 из всех чисел от 0 до 24.

Домашняя работа П , 262, 266