Понятие конуса. Усеченный конус. Поверхность конуса.

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. Много сделала для геометрии школа Платона (428– 348 гг. до н. э.). Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

F P x Определение: Тело, ограниченное кони-ческой поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. L

боковая (коническая) поверхность высота конуса (РО) ось конуса вершина конуса (Р) основание конуса радиус конуса (r) B r образующие P

Прямой круговой конус является объединением всех равных друг другу прямоугольных треугольников, имеющих общий катет. Поэтому можно сказать, что он получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов – оси конуса. В А С С1С1 С2С2

Сечение, перпендикулярное к оси конуса представляет собой круг, секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. РО 1 М 1 ~ РОМ r 1 = РО 1 /РО*r ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ СЕЧЕНИЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЕ ОСИ КОНУСА В сечении равнобедренный треугольник, основание которого диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

Рис.1Рис.2Рис.3 эллипс парабола гипербола

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки (конической поверхности). Боковая поверхность конуса- круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса. 1) S бок = 2 πl α 360 2) S бок = url P A B

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. S кон = πr (l+r) S бок =url

Усеченный конус – часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса основания образующая радиусы боковая поверхность высота

Площадь боковой поверхности усеченного конуса S бок =πl(r+R)

Задача 1. ( ) Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к площади боковой поверхности. Решение: Пусть радиус основания конуса равен R, тогда площадь основания S осн = R, а высота конуса 2R. 2 π O A S В SOA: SA = SO + OA = (2R) + R = R Итак, l = SA = R 5 Тогда S бок = R l = R 5 Искомое отношение: ππ S бок S осн = = π π R R 5 5 5

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Найдите площадь осевого сечения и площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований 3 и 6 см, а высота равна 4 см Задача 2 Найдите площадь осевого сечения и полную поверхность усеченного конуса, если образующая равна 30 см, а диагональ осевого сечения, равная 40 см, перпендикулярна образующей.