Основы логики и логические основы компьютера Угринович Н.Д $ класс Калабина Г.Н.

Из истории Первые учения о формах и способах рассуждения возникли в Китае и Индии, но В основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями Основы формальной логики заложил Аристотель (отделил логические формы мышления(речи) от его содержания)

Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны Логика – наука о способах и формах мышления

Формы мышления ПОНЯТИЕ Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. ВЫСКАЗЫВАНИЕ Высказывание- это форма мышления в которой что- либо утверждается или отрицается о предметах. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ Умозаключение-это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (вывод) Примеры: -Компьютер -Стол -Книга - …. Высказывание может быть Выражено только с помощью повествовательного предложения Примеры высказываний: -Земля – планета солнечной системы -Уголь имеет черный цвет -Два умножить на два равно четыре Примеры не являющиеся высказываниями: -Уходя, гасите свет -Да здравствует мыло душистое! -Который час? Пример умозаключения: -Литий – металл. -Все металлы – простые вещества Литий – простое вещество

Высказывания принято делить на простые и составные. Примеры простых высказываний: -На улице светит Солнце -Идет дождь -Четыре –четное число - Десять-простое число Составные высказывания образуются из нескольких простых высказываний с использованием союзов И, ИЛИ, частицы НЕ, а также с использованием запятой. Например: -Я учу уроки ИЛИ смотрю телевизор -На улице пасмурно И идет дождь -НЕ верно, что 10 кратно 3 Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основе здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью специального аппарата, который называется АЛГЕБРОЙ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Алгебра высказываний Алгебра высказываний разработана для того, чтобы можно было определять ИСТИННОСТЬ или ЛОЖНОСТЬ составных высказываний, не вникая в их содержание В алгебре высказываний простым высказываниям ставят в соответствие логические переменные. Их принято Обозначать буквами латинского алфавита: - Снег имеет белый цвет - А - Десять-простое число - В Если высказывание истинно, то значением логической Переменной является 1, а если ложно – 0. В нашем случае А=1, В=0 В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Диаграммы Эйлера-Венна Если имеются какие-нибудь понятия А,В,С, то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими множествами в виде пересекающихся кругов: А В С

Другое название КОНЪЮНКЦИИ – логическое умножение Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ Составное высказывание двух или нескольких высказываний объединенных в одно с помощью союза И называется КОНЪЮНКЦИЕЙ При переходе от естественного языка к записи высказываний на формальном языке алгебры высказываний КОНЪЮНКЦИЮ обозначают знаками: &,, *, AND Формализуем составное высказывание «На улице пасмурно и идет дождь» с учетом принятых обозначений: F = A B С точки зрения алгебры логики эта запись является функцией логического умножения. Ее аргументами являются логические переменные A и B, каждая из которых может принимать 2 значения: 1- истина, 0 – ложь. Сама функция F также может принимать только 2 значения – истина(1) или ложь(0) Для определения истинности логической функции принято строить специальные таблицы – ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ. В таблице истинности отражены значения функции при всех возможных Сочетаниях логических переменных которые входят в логическую функцию КОНЪЮНКЦИЯ двух или нескольких простых высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинны все входящие в нее простые высказывания

А В Таблица истинности для логической операции конъюнкция имеет вид: AB A B Диаграмма Эйлера-Венна конъюнкции имеет вид:

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ Другое название ДИЗЪЮНКЦИИ – логическое СЛОЖЕНИЕ Составное высказывание двух или нескольких высказываний объединенных в одно с помощью союза ИЛИ называется ДИЗЪЮНКЦИЕЙ При переходе от естественного языка к записи высказываний на формальном языке алгебры высказываний ДИЗЪЮНКЦИЮ обозначают знаками:, +, OR Формализуем составное высказывание «На улице пасмурно или идет дождь» с учетом принятых обозначений: F = A B ДИЗЪЮНКЦИЯ двух или нескольких простых высказываний истинна, если истинно хотя-бы одно входящее в нее простое высказывание AB A B Таблица истинности для логической операции дизъюнкция имеет вид:

Таблица истинности для логической операции дизъюнкция имеет вид: ABA V B Диаграмма Эйлера-Венна дизъюнкции имеет вид: А В

Логическое ОТРИЦАНИЕ Другое название ОТРИЦАНИЯ – ИНВЕРСИЯ Логическое отрицание делает истинное выражение ложным, и наоборот, ложное - истинным Таблица истинности для логического отрицания имеет вид: АА При переходе от естественного языка к записи высказываний на формальном языке алгебры высказываний ОТРИЦАНИЕ обозначают знаками: А, А, NOT А

Таблица истинности для логической операции инверсия имеет вид: Диаграмма Эйлера-Венна инверсия имеет вид: АНе А А неА

Использование Excel для получения таблиц истинности Использование Excel для получения таблиц истинности

Импликация Это Логическое следование Таблица истинности для импликации имеет вид: При переходе от естественного языка к записи высказываний на формальном языке алгебры высказываний ИМПЛИКАЦИЯ обозначают знаками: если.. то.., AB A B

Эквивалентность Это Равнозначность Таблица истинности для импликации имеет вид: При переходе от естественного языка к записи высказываний на формальном языке алгебры высказываний эквивалентность обозначают знаками: тогда и только тогда, когда …, AB A B

Приоритет логических операций Действия в скобках Инверсия Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Следование

Пример 1: Определить истинность составного высказывания (не А & не В) &(С V D ), состоящего из простых высказываний: А={Принтер-устройство вывода} В={Процессор- устройство хранения информации} С={Монитор- устройство вывода информации} D={Клавиатура- устройство обработки информации }

Решение: Определим истинность простого высказывания А=1, В=0, С=1, D=0 Определим истинность составного высказывания, Используя таблицы истинности логических операций: (не 1 & не 0) &(1 V 0 )= (0 & 1) &(1 V 0) = 0 Ответ: все составное высказывание ложно!

Проверим правильность результата с помощью калькулятора NumLock Calculator

Пример 2: Даны три числа в различных СС: А=2010, В=1116, С=308. Переведите числа в 2СС И выполните поразрядно логические операции: (А V В) &C. Ответ дайте в 10СС

Для решения используем калькулятора Wise Calculator Решение:

Угринович, учебник-Практикум Глава (а, ж, и), 3.11, 3.14 (в), 3.15, 3.16 Задания для самостоятельного выполнения: