Применение производной и интеграла при решении задач по физике

Производная функции Если существует предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при условии, то функция называется дифференцируемой в точке x, а этот предел называется значением производной функции в точке x и обозначается или :

Физический смысл производной Если – закон прямолинейного движения, то выражает скорость движения в момент времени t, то есть Производная функции в точке x выражает скорость изменения функции в этой точке, то есть скорость протекания процесса, описываемого зависимостью Вторая производная выражает скорость изменения скорости этого движения, то есть ускорение

Интеграл функции Функцию, заданную на некотором промежутке, называют первообразной функции, заданной на том же промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство. Выражение, где – произвольная постоянная, называют общим видом первообразных функции, а также неопределенным интегралом от функции, и обозначают:

Физический смысл интеграла Работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная функция, действующей на отрезке, равна определенному интегралу от величины силы, взятому по отрезку.

Задача 1 Вычислить минимальную работу внешней силы, необходимую для перемещения тела массой m с поверхности Земли в точку космического пространства, удаленную от центра Земли на расстояние R. Вычислить минимальную работу внешней силы, необходимую для перемещения тела массой m с поверхности Земли в точку космического пространства, удаленную от центра Земли на расстояние R.

Решение. На тело массы m со стороны Земли действует сила всемирного тяготения F т, зависящая от расстояния r между телом и центром Земли: F т =GM 3 m/r 2, где M 3 – масса Земли, G – гравитационная постоянная. Для удаления тела с поверхности Земли требуется приложить к нему внешнюю силу F в, направленную в противоположную сторону, причем величина этой силы F в F т. Минимальная работа будет совершена в предельном случае F в (r) = F т (r). Искомую работу вычисляем по формуле: b A= F (x) dx A= F (x) dx R R a R A min = F в (r) dr = F т (r) dr = GM 3 m dr/r 2 = R 3 R 3 R 3 R = - GM 3 m/r = GM 3 m(1/R 3 – 1/R). R 3

Таким образом, A min = GM 3 m(1/R 3 – 1/R). (*) A min = GM 3 m(1/R 3 – 1/R). (*) Из формулы (*) находим, что для удаления тела с поверхности Земли в бесконечно удаленную точку космического пространства (R) требуется совершить конечную работу A min = GM 3 m/R 3 A min = GM 3 m/R 3 В приведенных расчетах мы для простоты не принимали во внимание силы притяжения, действующие на тело массы m со стороны других космических объектов, в первую очередь Солнца

Задача 1. Частица, несущая электрический заряд e, движется в однородном электрическом поле переменной напряженностью E=Asin(kt), где A и k – постоянные коэффициенты. Уравнение движения частицы имеет вид Частица, несущая электрический заряд e, движется в однородном электрическом поле переменной напряженностью E=Asin(kt), где A и k – постоянные коэффициенты. Уравнение движения частицы имеет вид x=eA(t-sin(kt)/k)/mk, x=eA(t-sin(kt)/k)/mk, где m – постоянная величина. где m – постоянная величина. Определить величину скорости точки, ее начальное значение, а также наибольшее и наименьшее значение скорости. Определить величину скорости точки, ее начальное значение, а также наибольшее и наименьшее значение скорости.

Р е ш е н и е. Для нахождения модуля скорости вычисляем производную от x по времени Р е ш е н и е. Для нахождения модуля скорости вычисляем производную от x по времени v=|dx/dt|=eA(1-cos(kt)/mk (*) v=|dx/dt|=eA(1-cos(kt)/mk (*) Подставляя в уравнение (*) начальное значение времени t=0, получим, что Подставляя в уравнение (*) начальное значение времени t=0, получим, что v 0 =0 v 0 =0 Для определения экстремальных значений модуля скорости находим первую производную от величины скорости по времени и, приравнивая ее значение к нулю, определяем моменты времени, когда скорость достигает наибольших и наименьших значений: Для определения экстремальных значений модуля скорости находим первую производную от величины скорости по времени и, приравнивая ее значение к нулю, определяем моменты времени, когда скорость достигает наибольших и наименьших значений: dv/dt=eAsin(kt 1 )=0 dv/dt=eAsin(kt 1 )=0 Следовательно, kt 1 =0, п, 2 п, 3 п, 4 п, …, откуда Следовательно, kt 1 =0, п, 2 п, 3 п, 4 п, …, откуда t 1 =пn/k, t 1 =пn/k, где n=0, 1, 2, 3,... где n=0, 1, 2, 3,... Подставляя найденное значение kt 1 в уравнение (*), находим при n=0 Подставляя найденное значение kt 1 в уравнение (*), находим при n=0 v=eA(1-cos0)/mk=0; (**) v=eA(1-cos0)/mk=0; (**) при n=1 при n=1 v=eA(1-cosп)/mk=2eA/mk. (***) v=eA(1-cosп)/mk=2eA/mk. (***) При последующих значениях n значение скорости (**) и (***) будут периодически повторяться. При последующих значениях n значение скорости (**) и (***) будут периодически повторяться.

Задача 2. Задача о радиоактивном распаде. Скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон распада радия, если известно, что в начальный момент t=0 имелось m 0 г радия. Задача о радиоактивном распаде. Скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон распада радия, если известно, что в начальный момент t=0 имелось m 0 г радия.

Решение. Пусть в момент времени t масса радия составляет x г. Тогда скорость Решение. Пусть в момент времени t масса радия составляет x г. Тогда скорость распада радия равна d(m 0 – x)/dt = -dx/dt d(m 0 – x)/dt = -dx/dt По условию задачи -dx/dt = kx, -dx/dt = kx,откуда dx/dt = -kx (1) dx/dt = -kx (1) где k – коэффициент пропорциональности. Равенство (1) – пример так называемого линейного однородного дифференциального Равенство (1) – пример так называемого линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка. Желая найти x из уравнения (1), представим (1) сначала в виде х/x = -k, а затем в виде Желая найти x из уравнения (1), представим (1) сначала в виде х/x = -k, а затем в виде (lnx) = -k. Отсюда следует, что lnx = -kt + lnC, где C – положительная постоянная. Поэтому x = Ce -kt x = Ce -kt Для определения С используем начальное условие: x = m0 при t=0. Имеем С=m 0, и, значит, искомый закон радиоактивного распада запишется так: x = m 0 e -kt. x = m 0 e -kt. Коэффициент k определяется экспериментально. Например, для радия k=0, Промежуток времени T, за который распадается половина первоначальной массы радиоактивного вещества, Называют периодом полураспада этого вещества. Подставляя в (2) x= m0/2, получим уравнение для определения периода полураспада T для радия: m 0 /2 = m 0 e -kT m 0 /2 = m 0 e -kTоткуда -kt = -ln2 -kt = -ln2 и, наконец, T = ln2/k = ln2/0, = 1550 лет T = ln2/k = ln2/0, = 1550 лет

Задача 3. Задача о законе естественного роста. Законестественного роста – это закон, при котором скорость роста вещества прямо пропорциональна его количеству. Найдем формулу для определения изменения количества вещества x в зависимости от времени t, считая, что в начальный момент при t=0 количество вещества было x 0. Задача о законе естественного роста. Законестественного роста – это закон, при котором скорость роста вещества прямо пропорциональна его количеству. Найдем формулу для определения изменения количества вещества x в зависимости от времени t, считая, что в начальный момент при t=0 количество вещества было x 0.

Решение. Используя, как и в предыдущей задаче, физический смысл Решение. Используя, как и в предыдущей задаче, физический смысл производной, можно записать закон естественного роста следующим образом: dx/dt = kx, (*) dx/dt = kx, (*) где k – коэффициент пропорциональности. Уравнение (*) описывает многие процессы размножения.размножения. Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию x=x 0 при t = 0, имеет вид: x = x 0 e kt (**) x = x 0 e kt (**) Формула (**) является формулой, выражающей закон естественного роста. По этому закону, например, происходит размножение числа нейтронов в ядерных реакциях, размножение числа бактерий, рост кристаллов, населения и т.п.