Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики Мармыш Д. Е. Руководитель: к-т. ф.-м. н., доцент Щербаков С. С. Минск 2012 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО НАПРЯЖЕННО- ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Оглавление 1. Цель и мотивация исследования 2. Задача Фламана 3. Постановка задачи 4. Решение для эллиптического распределения Цель и мотивация исследования Задача Фламана Постановка задачи Решение для эллиптического распределения 5. Задача Буссинеска Задача Буссинеска 6. Решение задачи для прямоугольника Решение задачи для прямоугольника 7. Особенности решения Особенности решения 8. Алгоритм построения общего решения Алгоритм построения общего решения 9. Решение для эллипсоидального распределения Решение для эллипсоидального распределения 10. Заключение Заключение

1 Получить численно-аналитическое решение контактной задачи для некоторого вида распределенных нагрузок. Мотивация: Контактные задачи является наиболее сложными для решения задачами математической теории упругости. Решение в аналитическом виде для большинства задач в трехмерном случае невозможно, поэтому применяются различные численные методы. Один из эффективных методов решения контактных задач теории упругости является численно-аналитический метод граничных элементов. Осуществить компьютерное моделирование и провести сравнение полученных результатов. Цель: Цель и мотивация исследования

1 Задача Фламана Нормальная нагрузка Касательная нагрузка Общий случай нагружения

2 Постановка задачи Рассмотрим случай равномерного распределения нормальной нагрузки р 0 и касательной нагрузки q 0 на отрезке [b;a] Функции влияния для напряжений

3 Постановка задачи Функции влияния для перемещений

4 Решение для эллиптического распределения

5 Решение для эллиптического распределения Распределение напряжений от действия нормальной нагрузки Распределение напряжений от действия касательной нагрузки

6 Задача Буссинеска P Сосредоточенная сила Распределенная нагрузка Особенности решения задачи: 1) для произвольной p(x,y) возможно лишь численное интегрирование; 2) сложность в построении решения для z=0.

7 Решение задачи для прямоугольника (1) (2) где- соответственно напряжения и перемещения для сосредоточенной силы (функции влияния) Равномерная нагрузка p 0 распределена по области

8 Решение задачи для прямоугольника

9 Решение задачи для прямоугольника (a/b=1, ν=0.3) Нормальные напряжения а) б) Касательные напряжения в) г)

9 Решение задачи для прямоугольника (a/b=1, ν=0.3) Перемещения д) е)

10 Особенности решения 1. Решение дает непрерывную функцию для нахождения напряженно-деформированного состояния. 2. Решение не дает неопределенности у поверхности полупространства (z=0).

11 Алгоритм построения общего решения x y

12 Алгоритм построения общего решения

13 Алгоритм построения общего решения 1. Построение сетки по области распределения поверхностной нагрузки 2. Вычисление напряжения (перемещения) от каждого отдельно взятого прямоугольника 3. Суммирование результатов по каждому прямоугольнику. 4. Оценка погрешности

14 Решение для эллипсоидального распределения (напряжения) Напряжения на поверхности полупространства Напряжения в слое на глубине z=0.5

15 Решение для эллипсоидального распределения (перемещения) Перемещение поверхности полупространства Перемещение слоя на глубине z=0.5

16 Заключение 1. Найдены непрерывные аналитические функции для нахождения НДС, которые не дают особенности в области нагружения. 2. Решение, даже при большом шаге сетки дает, результат с малой погрешностью. 3. Реализованный метод позволяет получать решения для любого распределения поверхностных усилий.