Метрико-топологические вычисления в конструктивном мире кубических структур. Г.Г.Рябов, В.А.Серов, И.А.Толстошеев (НИВЦ МГУ) Работа поддержана грантом РФФИ офи_м

Введение. Парадигма «физика-топология-логика- компьютерные вычисления-Розеттский камень».Формально-языковые связки «физика- топология», «топология-логика-компьютерные вычисления». Построение конструктивного мира для решения задач синтеза геометрико-топологических структур компьютерными методами. Роль кубических структур как удобного материала для алгебраических представлений и для машинных параллельных реализаций. Влияние на архитектуру компьютеров новых поколений.

Математика и компьютер. Первая сторона ответственности математиков состоит в том, чтобы, используя опыт и достижения математики, особенно математики ХХ века, значительно расширить возможность создания адекватных языков в других разделах науки… Многое будет сделано, в особенности в век компьютеров, которые медленно, но неизбежно будут менять психологию математиков… И.М.Гельфанд.

О конструкции многообразия 2-сферы. MITgcm. MITgcm-модель глобальной циркуляции океан-атмосфера. Общая схема основана на представлении моделируемого слоя, как мембраны на поверхности планеты в виде 2- сферы. Гибкость представления при детализации модели обеспечивается различной дискретизацией псевдоквадратного покрытия 2-сферы. Такая конструкция названа кубоидной конформной сферой.

Проекция куба на 2-сферу Проецируются вершины, середины ребер и ребра. Ребра на сфере- дуги больших кругов. Дискретизация сферы-проекция разбиений ребер. Ребра псевдоквадратов-дуги больших кругов. В модели глобальной циркуляции MITgcm модификации конформной сферы х6; 32 2 х6; 64 2 х6.

Триангуляция сетки на многообразии (2-сфере).

Дуальная мозаика 2-сферы (6 типов выпуклых многоугольников).

Общая схема конструктивного подхода к построению n-сферы. 1.Выбор алфавита и метода кодирования для граней кубической n-окрестности. 2.Описание множества слов, представляющих внешние и внутренние гиперграни. 3.На основании гомеоморфности поверхности n+1-куба и n-сферы вычислить все карты смежности для граней n-сферы. Спроецировать все целые точки (вершины) n- окрестности на геометрическую (заданную уравнением x i 2 =1;) cферу.

Пространственная логика областей. 6 основных взаимных положений двух областей в пространстве. Дескрипторы связности: DC- не связаны EC- внешнее касание PO- пересечение TPP-внутр.касание NTPP- внутри EQ-совпадают

Сопоставление пространственной логики областей и представления кубических структур. Взаимное расположение двух 3-окрестностей может быть задано 11 дескрипторами. DC,ECP,ECE,EC2E, ECF,EC2F,EC4F, POC,PO2C,PO4C, EQ

Связь с рассматриваемой тематикой. Основная рассматриваемая тематика помечена жирными овалами в схеме. Разделы фундаментальной и прикладной математики помещены в прямоугольные рамки.

Основы представления кубических структур.

Биективность k-граней n-куба и n-разрядных слов троичного алфавита. е 1,е 2,…е n R n ; d 1,d 2,…d n D n ; d i {0,1,2}; f k (v) П I(e i ) + Te j ; e i :d i =2; e j :d j ={0,1}; |d i |=k; |d j |=n-k; f k (v)-k-мерная грань n-куба в вершине v(T); П-декартово произведение; Т-трансляция; трехмерная грань в 6-мерном единичном кубе (рис).

Определение кубанта и умножения. Кубант (кубический квант)- n-разрядное троичное слово, биективное k-мерной грани (k=0-n) n- мерного единичного куба (n-куба). Алфавит {0;1;2} На кубантах задана бинарная операция «умножение» с расширением алфавита до {Ø;0;1;2}: Правила поразрядного коммутативного умножения: 0 0=0; 0 1=1 0=Ø; 0 2=2 0=0; 1 2=2 1=1; 2 2=2; Ø,0,1,2xØ=Ø; В префиксной форме П(201221;211122)=2Ø1121; (эти 3-грани в 6-кубе не пересекаются и Lmin=1);

Свойства умножения. Произведение кубантов равно слову, биективному общей грани соответствующих сомножителям граней, если оно не содержит Ø. Если произведение содержит по крайней мере одну Ø, то число разрядов с Ø равно длине мин. пути (по ребрам n-куба) между гранями. П(022200;221120)=021100; П(022211;022200)=0222ØØ; Lmin=2; (рис)

Моноид кубантов и псевдокубантов Определение. Псевдокубант n-разрядное четверичное слово (алфавит {Ø,0,1,2} по крайней мере с одним из разрядов Ø. При заданном умножении множество всех n- разрядных четверичных слов (алфавит {Ø,0,1,2}), кубанты и псевдокубанты, образуют моноид с единицей – кубант 22…2 (весь n-куб). Общее число мономов 4 n, среди них кубантов 3 n.

Хаусдорфова метрика на кубантах- обобщение метрики Хэмминга. HH (D1,D2)=max{maxLmin(D1 D2),maxLmin(D2 D1)}; D1=022211; D2=112222; Lmin(D1 D2) П=ØØ2211 max Lmin(D1 D2)=2; Lmin(D2 D1) П=Ø122ØØ max Lmin(D2 D1)=3; HH (D1,D2)=max{2,3}=3 ;

Дескриптивное описание алгоритма вычисления НН-расстояния между гранями n-куба Пусть граням n-куба f 1 и f 2 соответствуют кубанты D 1 =d 11,…d 1n ; D 2 =d 21,…d 2n ; 1.Вычисление max Lmin(D 1 D 2 ): рассматриваются все пары разрядов d 1i и d 2i (i=1-n).Если d 1i =2, а d 2i =0, то d 1i заменяется на 1; если d 1i =2, а d 2i =1, то замена d 1i на 0. В остальных случаях замен нет. D 1 c заменами обозначим D 1 *. Затем вычисляется произведение П(D 1 *,D 2 ) и в нем подсчитывается число разрядов с Ø, которое и равно max Lmin(D 1 D 2 ). 2.Вычисление max Lmin(D 2 D 1 ) происходит идентично пункту 1. с заменой индекса 1 на 2 и 2 на1. 3. Из двух величин max Lmin(D 1 D 2 ), max Lmin(D 2 D 1 ) (целые, неотрицательные числа) выбирается максимальное, которое и равно НН (D 1,D 2 )= HH (f 1,f 2 ).

НН-метрическое пространство. Все грани (кубанты) n-куба образуют Хаусдорфово- Хэммингово (НН) конечное метрическое пространство. Расчеты матриц всех парных НН-расстояний проведены на суперкомпьютере МГУ «Чебышев» для размерностей n=1-10. Распределения нн (, ) на рис.

Расширение понятий и операций. Путь размерности k (k-путь) между k-гранями f 1 и f 2 - последовательность граней вида f 11,f 12,…f 1s, где все k- грани; f 11 =f 1 ;f 1s =f 2 ; и для i=1-s выполнено f 1i f 1i+1 = грани размерности k-1; Биективно: k-путь между кубантами D 1 иD 2 последовательность D 11,D 12,…D 1s такая, что D 11 =D 1, D 1s =D 2 ; все D 1i содержат ровно k букв «2»; и для i=1-s выполнено D 1i D 1i+1 =кубант с k-1 буквой «2». Кратчайший k-путь, когда s минимально. Оператор (унарный) взятия границы( D) –множество кубантов, биективное гиперграням соответствующего куба. Оператор (m-арный) выпуклой оболочки (соnv{D1,…Dm}) – кубант минимальной размерности D0: {D1,…Dm} D0;

Задача многомерного «метро». Три трехмерных тоннеля в 9-кубе от 00…0 до 11…1 Три кратчайших 3-пути в 9-кубе от 00…0 до 11…1

Н2H метрика между k-путями-пример метрики между комплексами кубантов. Кубанты, описывающие k-пути - точки НН-метрического пространства. Каждый путь-множество точек из НН-пространства. Между этими множествами V 1 и V 2 вычисляется хаусдорфово расстояние как: max {max min HH (V 1 V 2 ), max min HH (V 2 V 1 )} = H2H (V 1,V 2 ) Для «тоннелей метро»V 1, V 2,V 3 : H2H (V 1,V 2 )= H2H (V 1,V 3 )= H2H (V 2, V 3 )=3;

Кубические окрестности. Определение. Множество всех единичных n-кубов вместе со всеми своими гранями в R с n, имеющих общую вершину (целую точку), - кубическая n- окрестность этой точки. Число n-кубов в кубической n-окрестности (ортантов) равно 2 n. Общее число кубических граней всех размерностей в n-окрестности равно 5 n, что следует из общего принципа кодирования кубических граней. Единичные отрезки (как декартовы сомножители) кодируются двумя буквами 2 и -2 (в положительном и отрицательном направлениях) по каждому измерению, а трансляции тремя буквами -1,0,1; т.е. общий алфавит-пятиричный (-2,-1,0,1,2).

Общая комбинаторная схема кодирования кубических граней. Для n-куба: (одна буква для обозначения наличия единичного отрезка в декартовом произведении по данному измерению) + (две буквы для обозначения наличия или отсутствия трансляции по данному измерению) F(n,k)=(1+2) n ; F(n,k)=C(n,k) 2 n-k ; число k-граней в n-кубе Для кубической n-окрестности радиуса 1: (две буквы для отрезков в положительном и отрицателном направлениях)+(три буквы для трансляций в положительном и отрицательном направлениях и отсутствия трансляции) F(n,k)=(2+3) n ; F(n,k)=C(n,k)2 k 3 n-k ;число k-граней в n-окр.

Отображение 6-окрестности на R2. a) I 6 б) 6-окрестность с ортантами в) Lmin между кросс-кубантами D1 и D2.

3-окрестность и 4-окрестность (кубические). Все грани 3-окрестности биективны всем трехразрядным, а 4-окрестности всем четырехразрядным словам пятиричного алфавита {-2;-1;0;1;2}. Слова с таким алфавитом-кросс-кубанты.

Проекции граней поверхности кубической окрестности на сферы. Внешние грани 4-окрестности проецируются на 3- сферу (ренормировка координат вершин).

Все поверхностные грани. Кубические 2-сфера и 3-сфера. Отсутствуют грани, содержащие (0,0,…0) все четырехразрядные слова, у которых есть разряд 0.

Этапы вычисления единичной 3-сферы. A1 генерирует все кубанты с тремя буквами из {2,2} и одной из {1,1} А2 смежные грани, А3 вершины 3-грани,А4 ребра в 3-грани А5 проецирует вершины на единичную сферу S 3.

Вычислимость и энумератор. А1-энумерация всех кубических 3-граней для проекции на сферу с помощью матрицы (столбцы соотв.знакам): Порядок генерации по строкам с 1-ой по 4-ую, т.о. (2212)= (m-1)16+5=21, где m-номер разряда с 1, 5-номер столбца. =63 63/16=3(15) 3+1(строка 4),15 (столбец1110)=1222

Экстраполяция на n-мерный случай. Кубическая n-мерная сфера как множество n- мерных кубических граней: S n (D)={ D(n+1):d n {2,2},d {1,1}}; Общее правило проекции на сферу (А5): (x 1,x 2,…x n ) ( 1, 2,… n ); i =x i / x k 2 ; (x)-вершина (целая точка) на кубической грани, ( )-вершина на сфере Алгоритмы А1,А2,А3,А4 без изменения.

Сравнительная анатомия 4-окрестности и единичной S 3. Вершин 81; 80; Ребер 216; 208; 2-Граней 216; 192; 3-Граней 96; 64; 4-Граней 16; 0;

Матрица смежности для вершин на S 3 (проекции вершин кубической 4-окрестности) 80х80 Обозначения координат: 1 +;0 0; 1 ; элементов в матрице: 1 х; 0.;( )

Удлинение НН-расстояний в S 3 (D). Удлинение в S 3 (D), когда в 4-окрестности Lmin проходит через 0000.

Фронты волны в S 3 и B 3. Фронты волны от зеленой вершины отличаются только в одной вершине, исключая вершину 0000.

Дальнейшая дискретизация S 3. Каждый псевдо 3куб как грань S 3 в R 4 разбивается на 2 k 2 k 2 k меньших кубов. Вычисление координат вершин этих кубов аналогично вычислению координат вершин для граней S 3.

Дальнейшие вычисления при дискретизации S 3. Пример разбиения единичной S 3 на 64х64=4096 псевдокубических граней.(Продолжение «Этапы вычисления 3-сферы»)

Графическое приближение S 3 4-окрестность без внутренних граней, содержащих (0000) Проекция вершин на сферу x i 2 =1; i=1-4;

Дискретизация, триангуляция и мозаичное разбиение 3-сферы по аналогии с 2-сферой. Оценки для суперкомпьютера. Сравнительные данные с MITgcm. Дискретизация 16,32,64 для S 2 256х6;1024x6;4096x6.(псевдоквадратов). Дискретизация 16,32,64 для S 3 4Kx64=1/4K 2 ;32Kx64=2K 2 ;256Kx64=16K 2 ; K 2 ~10 6 Одноразовый проход по всему многообразию S 3 с числом операций10 6 для каждого дискрета возможен на «Чебышеве» за секунды.

К построению многообразия 3-тора. Схема-аналог для построения 2-тора.Расширение окрестности (3х3х1) и удаление внутренних 2-граней с вершинами.(Углы окрашены зеленым цветом). Затем проекция на поверхность тора.

О значении визуализации. If I cant picture it, I cant understand it. А.Эйнштейн

Графическое обеспечение многомерных кубических структур. Адекватное представление – алгебраическое, геометрическое- скорее метафорическое. Наиболее эффективно построение графического образа прямо по алгебраической форме. 2d и 3d отображения многомерных структур должны комментироваться описанием искажений (афинных и др.) в графике. Особое значение приобретает цвет, как средство выделения подмножеств с определенными свойствами. Динамика осмотра и анимация эволюции- важный элемент для графики многомерных объектов. Создание специального ПО целесообразно как надстройка над открытыми системами Open GL и VRML.

Проблема масштабирования. Визуализация многомерных структур должна предусматривать элементы масштабирования, прежде всего по размерности пространств n. Для кубических структур настройку параметров изображения (вершин,ребер и т.д.) для комфортной визуализации. Поскольку технические возможности аппаратуры весьма ограничены, специальное ПО должно позволять не только сигнализировать о практической невозможности отображения целиком объекта, но и предлагать воспроизвести допустимый фрагмент объекта.

Qcubant 1.0 Программная среда для визуализации и рассчётов над кубантами.

Встроенный интерпретатор В Qcubant встроен интерпретатор языка javascript, позволяющий быстро, без компиляции, в режиме реального времени производить операции над ними и выводить результат в соотвествии с заданным режимом отображения. Также поддерживается ряд операций над кубантами и кубическими комплексами – это операции умножение кубантов, выпуклая оболочка, наибольший общий кубант, и другие Добавлена поддержка кросскубантов как подкласс кубантов со смещением по осевым направлениям.

Возможности визуализации 2 варианта визуализации – трехмерный и двумерный. Настраивамые параметры отображения – цвет, форма граней и вершин Настравивамый репер (базис) для отображения Возможность вывода в VRML Возможность создания множественных отображений, соотвествующих одной сцене

Применение на суперкомпьютерах Структура приложения организована так, что часть программы, которая отвечает за логику отделена, и может использоваться самостоятельно. Эту часть можно использовать на суперкомпьютерах для рассчетов, связанных с кубантами. С другой стороны, эта часть используется в приложении Qcubant и можеn быть вынесена оттуда как отдельная программная библиотека.

Возможности системы Отрисовка кубантов Простейшие операции Отображение в виде двух проекций – 2D и 3D Встроенный интерпретатор языка Javascript

Вид программы Внешний вид программы- слева, Снизу javascript- представление, Вверху двумерная проекция для кубантов 5-мерного куба.

Двухмерная проекция Двумерная проекция кубантов (туннели метро)

Трёхмерная проекция Слева представлена трёхмерная проекция комплекса кубантов.

Проекции 3-мерных комплексов в 9-кубе со всех сторон.

Пример динамической графики для отображения расположения кросс-кубантов в 6-окрестности.

Эмуляция операторов и расчеты с их использованием на суперкомпьютере «Чебышев» Пользовательская нотация используется для хранения кросс-кубантов в файлах и графического отображения. Машинная нотация используется непосредственно в вычислениях.

Нотации для представления кросс-кубантов (пользовательская, машинная). Пользовательская нотация используется для хранения кросс-кубантов в файлах и графического отображения. Машинная нотация используется непосредственно в вычислениях.

Пользовательская нотация {[,,]()( )[ ]( )( )…[ ]( )}…{ } { } - комплекс из единичных n-кубов [ x 1,x 2,…,x n ] – координаты единичного n-куба в составе комплекса { } ( c 1,c 2,…,c n ) – кросс-кубант, в составе единичного n-куба. Разряды кросс-кубанта могут быть из пользовательского алфавита {Ø 1,0,1,2, Ø 2,-1,-2}. Кросс-кубанты, входящие в состав единичного n- куба, следуют сразу за координатами этого куба: [ ]( )( )… В дальнейшем, по мере усложнения задач, нотация может быть расширена. Например, могут быть добавлены идентификаторы комплексов: {A }{B } и т.д.

Машинная нотация Разряды кросс-кубанта могут быть из машинного алфавита {0,1,2,3, 4,6,7}. Машинная нотация получается из пользовательской путем следующего преобразования : Ø 1 ->0, 0->1,1->2, 2->3, Ø 2 ->4, -1->6, -2->7 Реализованы две функции для перехода от одной нотации к другой и обратно.

Основные структуры данных и формат файлов для представления кросс-кубантов. Формат файла {A[,,]()( )[ ]( )( )…[ ]( )}…{B }… Нотация соответствует пользовательской. Структуры данных представляют собой набор классов: - класс Куб, содержащий координаты единичного n-куба и набор кросс-кубантов в составе этого куба. Под координатами куба понимаются координаты его начальной точки (точка с координатами (0,0,..,0) в локальной системе координат данного куба). Набор кросс-кубантов реализован в виде одномерного массива. - класс Комплекс. Содержит идентификатор комплекса и все единичные n-кубы, входящие в состав данного комплекса. Кубы хранятся в виде одномерного массива. Если необходимо работать с несколькими комплексами, то они, в свою очередь, помещаются в массив. Все массивы динамические и реализованы средствами библиотеки STL C++. Размерность пространства, в данной реализации, одинакова для всех объектов.

Вспомогательные структуры данных. Используется ряд вспомогательных структур, которые ускоряют процесс вычисления. В частности, таблицы для операции умножения кросс-кубантов, хаусдорфова сжатия, операции выделения выпуклой оболочки, кодированного представления кросс-кубантов, таблица для разложения кросс-кубантов на составляющие (и полуцелые) точки.

Структуры данных, используемые в параллельной реализации. В параллельной реализации используются аналогичные основные и вспомогательные структуры данных. Также присутствуют специфические дополнительные структуры - буферы для обмена информацией между вычислительными узлами. Добавлена возможность представления кросс-кубанта как самостоятельного элемента, а не в составе единичного n-куба. Это вызвано необходимостью обмена данными между вычислительными узлами, который требует линейного размещения данных в памяти, в не структурированном виде. В таком представлении кросс-кубант задается следующим образом: [идентификатор комплекса][координаты единичного n-куба][кросс-кубант]. В памяти машины он представляется как одномерный массив.

Набор последовательных функций для работы с кросс-кубантами. - Вспомогательные функции, функции для работы с файлами и подготовки к вычислениям. Функции для генерации комплексов из кросс- кубантов (алгоритм произвольной кривой, замкнутые комплексы), функции для чтения \ записи данных из текстовых файлов, функции для анализа содержимого файлов (парсер) и заполнения структур данных в памяти компьютера, функция перевода из пользовательского представления кубантов в машинное и обратно. Реализованы некоторые геометрические операции с n-мерными векторами. - Операторы для работы с кросс-кубантами: умножения, хаусдорфова сжатия, проверки на пересечение и определения кратчайшего пути, выделения выпуклой оболочки, выделения границы. - Функции для работы с комплексами кросс-кубантов внутри единичного n-куба: функция умножения двух комплексов, функция проверки на пересечение, функция сжатия, функция проверки на связность комплекса и выяснения его топологической структуры, функция определения кратчайшего пути между комплексами, функция определения Хаусдорф- Евклидова и Хаусдорф- Хеммингова расстояния между комплексами, функция рекурсивного построения гамильтонова цикла в единичном n- кубe, выделение границы. - Функции на уровне комплексов из n-кубов: вычисление Хаусдорф- Евклидова расстояния.

Набор параллельных функций для работы с кросс-кубантами. - Функция для по-кубантного представления комплексов (см. выше Структуры данных) и функция распределения входных данных по вычислительным узлам. Размещение данных происходит равномерно по всем узлам, с точностью до кросс- кубанта. Для разных алгоритмов применяются различные схемы распределения, в зависимости от характера задачи (степени информационной зависимости). - Функция вычисления Хаусдорф-Евклидова расстояния между комплексами в n-мерном пространстве и функции определения Хаусдорф-Евклидова и Хаусдорф- Хеммингова расстояния между комплексами внутри единичного n-куба.

Графическое представление. Графическое отображение средствами VRML. Трехмерное сферическое представление n-мерных комплексов кросс- кубантов внутри единичного n-куба (n- окрестность).

Тестовые задачи с использованием функций инструментария. - Тестирование и отладка всех реализованных на данный момент функций инструментария. - Комплексная задача вычисления Хаусдорф-Хеммингова расстояния между двумя n-комплексами внутри единичного n-куба. Задача вычисления Хаусдорф-Евклидова расстояния между двумя n-комплексами в n-мерном пространстве. Сравнение с результатами оператора метрической волны в трехмерном случае. -Комплексная задача определения Хаусдорф-Хеммингова расстояния для всех пар кросс кубантов внутри единичного n-куба. Задачи решались как на однопроцессорном компьютере, так и на кластере.

Особенности параллельной реализации задачи определения Хаусдорф-Евклидова расстояния между двумя n-комплексами в n-пространстве. Довольно сильная информационная зависимость задачи, так как комплексы распределены по всем вычислительным узлам. Решение задачи, в первую очередь, ориентировано на саму возможность расчета Хаусдорф-Евклидова расстояния для больших n за счет использования памяти кластера. Алгоритм распределения по-кубантный. В трехмерном случае результаты вычислений данным алгоритмом и алгоритмом метрической волны совпали.

Параллельный алгоритм расчета Хаусдорф-Евклидова расстояния rEH. Изображены этапы вычислений (1-4) только для одного из узлов кластера.

Особенности параллельной реализации задачи определения Хаудорф-Хеммингова расстояния между всеми парами кросс-кубантов в единичном n-кубе. Полная распараллеливаемость задачи, как следствие – линейное ускорение. Алгоритм распределения вычислительной нагрузки по узлам кластера на основе учета количества пар кросс-кубантов Генерация пар кросс-кубантов в режиме реального времени (экономия памяти для задач большой размерности) На диаграмме: n =1,..,7 – расчет с помощью последовательного алгоритма, n = 8,..,10 – с помощью параллельного. Расчет производился на кластере НИВЦ МГУ Чебышев. Результаты приведены в таблице и в виде трехмерной диаграммы: Размерность nКоличество ядерВремя t, мин мин часа 23 мин часов 9 мин

Графическое представление задачи нахождения Хаусдорф-Хеммингова расстояния для всех пар кросс-кубантов внутри n-окрестности.

НН-расстояния всех пар кросс-кубантов в n-окрестности.

Перспективы развития (теоретические). Развитие алгебры кубантов для n-окрестности радиуса r>1. Модификация (универсализация) алфавита. Развитие методов проецирования кубических комплексов и многообразий на гладкие тела. Стыковка с предикатными конструкциями пространственной логики. Развитие стринговой структуры организации памяти компьютера и символьных операций.

Перспективы технические. Разработка архитектуры сопроцессора, ориентированного на решение многомерных комбинаторно-топологических задач. Моделирование сопроцессора на уровне межрегистровых пересылок. Оценки экономичности аппаратных и программных реализаций операций сопроцессора и его места в суперкомпьютерной структуре.

Литература 1.Новиков С.П. Топология. Москва-Ижевск.РХД Долбилин Н.П.,Штанько М.А.,Штогрин М.И. Кубические многообразия в решетках.// Изв.РАН.Сер. матем вып Деза М.,Штогрин М. Вложение графов в гиперкубы и кубические решетки.// Успехи матем. наук Деза М.,Штогрин М. Мозаики и их изометрические вложения.// Изв. РАН.Сер. матем Matveev S., Polyak M. Finite type Invariants of Cubic Complexes.//Act.Appl.Math pp Бухштабер В.М., Панов Т.Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. МЦНМО Бухштабер В.М. Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения.// Труды МИРАН Kontchakov R., Pratt-Hartmann J.,Wolter F., Zakharyaschev. Spatial Logics with Connectedness Predicates.//Log.Methods in Comp.Science. Vol.6(3:5) 2010,pp Marshall J., Adcroft A., Campin J-M., Hill C. Atmosphere-Ocean modelling exploiting fluid isomorphisms.//Boston.MIT Hamming R.W. Error detecting and error correcting codes.// Bell system Tech.Journal (2) Baez J., Stay M. Phisics, topology, logics and computation: a Rosetta Stone//arXiv: v3[quant-ph].6 June Baez J.,Lauda A. A Prehistory of n-categorical Physics.// arXiv: v1 [hep-th] 18 Aug 2009.

13.Lauda A. Frobenius algebras and planar open string topological field theories.// arXiv: math( v1) [math QA] 18 Aug Stanley R. Combinatoric and Commutative Algebra.// Birkhauser Manin Yu.I. Classical computing, quantum computing and Shors factoring algorithm. // arXiv: quant-ph/ v1. 2 March Ambjorn J.,Jurkevicz J.,Loll R. The Universe from Scratch. // arXiv: hep- th/ v3. 14 Oct Coecke B., Quantum picturalism.// arXiv: v1[quant-ph] 13 Aug Ryabov G.,Serov V., Simplicial-lattice model and metric-topological constructions.// Proc. of IX Conf. on Pattern Recognition and Inf. Processing. V2. Minsk Рябов Г.Г. О путевом кодировании k-граней в n-кубе. //Вычислительные методы и программирование N О четверичном кодировании кубических структур.// Вычислительные методы и программирование N2, Хаусдорфова метрика на гранях n-куба. //Фундаментальная и прикладная математика.2009.(в печати) Алгебраическое представление кубических структур и супервычисления.//Сб.Программные системы и инструменты. ВМиК МГУ , Рябов Г.Г.,Серов В.А. О метрико-топологических вычислениях в конструктивном мире кубических структур.//Вычислительные методы и программирование N