Тема 5 Пермский государственный технический университет Кафедра дизайна, графики и начертательной геометрии Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей. Позиционные задачи Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей. Позиционные задачи Е.С. Дударь, И.Д. Столбова Цель: освоить графические приемы анализа взаимного положения прямых и плоскостей, сформировать навыки решения позиционных задач

Классификация позиционных задач Уровня Проецирующее Линии плоскости (поверхности) Точки линии Точки плоскости (поверхности) Прямой и плоскости Двух прямых Двух плоскостей Позиционными называются задачи на определение взаимного положения геометрических образов или их положения относительно плоскостей проекций. В классификации плоскость рассматривается как поверхность первого порядка 1. Положение фигуры относительно плоскостей проекций 2. Взаимное положение фигур Двух линий Линии и плоскости (поверхности) Двух плоскостей (поверхностей) Пересече- ние Принадлеж- ность Параллельность (несобственное пересечение) Общее положение Частное положение

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей Прямая принадлежит плоскости (см. тема 3): все точки прямой являются точками плоскости Прямая параллельна плоскости: общих собственных точек нет Прямая пересекает плоскость: одна общая точка Рассмотрим все возможные случаи взаимного положения прямой и плоскости и двух плоскостей Плоскости параллельны: общих собственных прямых нет Плоскости пересекаются: одна общая прямая Прямая и плоскость: Прямая и плоскость: Две плоскости: Две плоскости:

Принадлежность прямой плоскости Прямая принадлежит плоскости, если она проходит: 1)через две точки этой плоскости; 2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой плоскости (n m) (n m) m 2 n 2 n 1 2 m а 2 а (1 m) ; (2 n) а 1) а а (1 И 2) а 22 (n m) (n m) m 1 m n 1 n 2 b 1 b (1 m) ; 1 b b b b n b

Параллельность прямой и плоскости Через точку А в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных данной плоскости. Для однозначного решения проведем в плоскости прямую n b n Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости А Признак параллельности: Признак параллельности: b n b

Параллельность прямой и плоскости Построим в плоскости ( АВС ) вспомогательную фронталь f. Через точку D проводим фронталь f, проекции которой параллельны одноименным проекциям фронтали f. Получаем искомую прямую f, параллельную заданной плоскости ( АВС ) b n С 2 А 2 В 2 С 1 В 1 А 1 D 2 D 1 f 2 f 1 Через точку D провести фронталь, параллельную плоскости ( АВС) f 1 f 2 Задача: b b b n b А

Параллельность прямой и плоскости ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) x 1 2 х Если прямая а параллельна плоскости общего положения, то в плоскости строят вспомогательную прямую n и выполняют условие параллельности одноименных проекций прямых а и n. Если плоскость проецирующая, то одна из проекций искомой прямой m параллельна следу плоскости n1n1 n2n2 а 2 а 2 а 1 а 1 а а n а x 1 х m 2 m 1 2 П 2 П 2 m 2 2 m n

Параллельность двух плоскостей Признак параллельности: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В качестве прямых могут быть использованы следы плоскостей b b n n m b a а а m x П 2 П х 1 2 х

Параллельность двух плоскостей 1. Искомая плоскость задается двумя пересекающимися прямыми m и n, проекции которых соответственно параллельны проекциям прямых а и b заданной плоскости. 2. У параллельных плоскостей и следы параллельны n n b b1b1 a1a1 m m a x 1 2 х 1 1 b2b2 a2a2 m1m1 n1n1 1 m2m2 n2n2 2 D1D1 D2D2 х 1 2 Через точку D провести плоскость, параллельную плоскости (a b) Через точку D провести плоскость, параллельную плоскости (a b) Задача 1: Построить П 1 плоскость П 1 Задача 2:

x П 2 х П Пересечение прямой с проецирующей плоскостью n n1n1 1 n2n х x 1 2 Одна из проекций точки 1 (пересечения прямой n с проецирующей плоскостью ) находится на пересечении следа плоскости 1 с проекцией прямой n 1. Видимость прямой определяется по направлению взгляда наблюдателя, плоскость считается непрозрачной n2n2 n1n

x П 1 П 2 Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью Две плоскости пересекаются по прямой линии. Необходимо найти две точки искомой линии пересечения, которые принадлежат одновременно двум плоскостям 1 2 х – горизонтально – горизонтально проецирующая плоскость; – плоскость ( ) – плоскость общего положения 1 2

В2В2 В1В1 1 x А1А1 А2А2 С2С2 С1С1 x П 1 П 2 Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью Горизонтально проецирующая плоскость проецируется на П 1 в виде следа, которому принадлежит проекция искомой линии пересечения. Часть треугольника, находящаяся перед плоскостью, будет видима на П 2. Линия служит границей видимости 1 2 х

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m 1 2 K 1. Через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость. 2. Находят линию пересечения 1-2 плоскостей: заданной и вспомогательной. 3. На полученной линии пресечения 1-2 находят общую точку К с заданной прямой m. 4. Определяют видимость прямой m Алгоритм: 1. m 2. = m = K 4. Видимость m

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m1m1 m2m2 В качестве вспомогательной выбираем горизонтально проецирующую плоскость ( 1 ), проходящую через заданную прямую m. Строим горизонтальную , а затем фронтальную проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с данным треугольником m 1. m ; П 1 m 1 П 1 1 m 1 ( )=1-2; 2. ( )=1-2;

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m1m1 m2m2 Находим фронтальную проекцию K 2 точки пересечения К линии 1-2 и данной прямой m. Горизонтальная проекция К 1 искомой точки пересечения будет принадлежать горизонтальной проекции m 1 прямой m K2K2 K1K m = K; K 2 K 1 1. m 1. m ; П 1 m 1 П 1 1 m 1 ( )=1-2; 2. ( )=1-2;

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m1m1 m2m2 Видимость горизонтальной проекции прямой определяют по горизонтально конкурирующим точками 3 и 2 (3 m; 2 ). Видимость фронтальной проекции прямой определяют по фронтально конкурирующим точка- ми 4 и 5 (4 m; 5 ). Видимость прямой m меняется в точке пересечения K2K2 K1K1 4. Видимость m (по конкурирующим точкам) (2 1 ) ( ) m = K; K 2 K 1 1. m 1. m ; П 1 m 1 П 1 1 m 1 ( )=1-2; 2. ( )=1-2;

Частный случай способа вспомогательных секущих поверхностей Частный случай способа вспомогательных секущих поверхностей Используется для решения позиционных задач Используется для решения позиционных задач Секущие плоскости выбирают так, чтобы в сечении получались графически простые линии Секущие плоскости выбирают так, чтобы в сечении получались графически простые линии В качестве секущих удобно использовать плоскости частного положения (проецирующие или плоскости уровня)В качестве секущих удобно использовать плоскости частного положения (проецирующие или плоскости уровня) Способ вспомогательных секущих плоскостей

Пересечение двух плоскостей общего положения Способом вспомогательных секущих плоскостей найдем две точки, определяющие линию MN пересечения заданных плоскостей и. Плоскость Р пересекает плоскость по прямой 1-2, а плоскость – по прямой 3-4. При пересечении полученных прямых определяем первую точку М M P Алгоритм: 2. P = = M Р- вспом. плоть 1. P = 1- 2

Пересечение двух плоскостей общего положения Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает заданную плоскость по прямой 5-6, а заданную плоскость – по прямой 7-8. На пересечении полученных прямых определяем вторую точку N искомой линии MN пересечения заданных плоскостей и N M P T Алгоритм: 2. P = = M 1. P = 1- 2 Р- вспом. плоть 2. Т = = N N – искомая прямая N M – искомая прямая Т- вспом. плоть 1. Т = 5 - 6

Пересечение двух плоскостей общего положения Алгоритм: 2. P = P (KF FE)= = M 1. P = P ( АВС)=1-2 Р- вспом. пл- ть F1F1 А2А2 В2В2 С2С2 А1А1 С1С1 В1В1 F2F2 K2K2 E2E2 K1K1 Р2Р M2M2 M1M1 E1E1 Проецирующая плоскость Р(Р 2 ) пересекает плоскость ( АВС) по прямой 1-2, а плоскость (KF FE) – по прямой 3-4. Определив фронтальные про-екции прямых и , находят общую точку М 1 на пересечении их горизонтальных проекций. Точка М 2 лежит на следе плоскости Р(Р 2 )

T2T2 Пересечение двух плоскостей общего положения Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает данные плоскости по прямым 5-6 и 7-8, на пересечении которых определяется вторая точка N искомой линии MN. Точки М и N лежат в соответствующих секущих плоскостях и принадлежат одновременно двум исходным плоскостям и Алгоритм: Р- вспом. плоть F1F1 А2А2 В2В2 С2С2 А1А1 С1С1 В1В1 F2F2 K2K2 E2E2 E1E1 K1K1 Р2Р M2M2 M1M N1N1 N2N Т = Т (KF FE)= = N N – искомая прямая N M – искомая прямая Т- вспом. плоть 1. Т = Т ( АВС)= P = P (KF FE)= P = P ( АВС)= = M

Пересечение двух треугольников В данном случае вспомогательную секущую (проецирующую) плоскость удобно проводить через сторону треугольника. Тогда решение задачи сводится к определению точек пересечения двух прямых линий (сторон треугольников) одной плоскости с другой плоскостью C1C1 F1F1 E1E1 B1B1 D1D1 A1A1 C2C2 F2F2 B2B2 A2A2 D2D2 E2E2 Построить линию пересечения плоскостей ( АВС) и ( DEF) Задача:

Пересечение двух треугольников C1C1 F1F1 E1E1 B1B1 D1D1 A1A1 C2C2 F2F2 B2B2 A2A2 D2D2 E2E2 P2P M 2 M Найдем точку М пересечения прямой DF с треугольником АВС. Вспомогательная плоскость Р(Р 2 ), проведенная через сторону DF треугольника DEF, пересекает плоскость ( АВС) по прямой 1-2. Сторона DF и прямая 1-2 имеют общую искомую точку М

Пересечение двух треугольников C1C1 F1F1 E1E1 B1B1 D1D1 A1A1 C2C2 F2F2 B2B2 A2A2 D2D2 E2E2 P2P T2T N 1 N 2 M 2 M Аналогично с помощью вспомогательной плоскости T(T 2 ) найдем вторую точку N пересечения прямой FE с треугольником АВС. Прямая 3-4 – это пересечение плоскостей T(T 2 ) и ( АВС). Точка N – пересечение прямых 3-4 и EF. Прямая MN – искомая линия пересечения данных треугольников

5 1 Пересечение двух треугольников C1C1 F1F1 E1E1 B1B1 D1D1 A1A1 C2C2 F2F2 B2B2 A2A2 D2D2 E2E2 P2P T2T N 1 N 2 M 2 M ( ) Для определения видимости треугольников на П 2 выбирают пару конкурирующих точек 4 и 5, лежащих на пересечении фронтальных проекций сторон треугольников. Из совпадающих проекций точек видимой будет точка 5 на прямой EF, ближайшая к наблюдателю

5 1 Пересечение двух треугольников C1C1 F1F1 E1E1 B1B1 D1D1 A1A1 F2F2 B2B2 A2A2 D2D2 E2E2 P2P T2T2 N 1 N C2C2 5 2 ( ) M 2 M 1 Линия MN определяет перемену видимости треугольников. Поскольку на П 2 видима точка 5 на прямой EF, то сторона E 2 F 2 до точки N будет видимой (этот вывод распространяется на всю переднюю часть проекции DFЕ ). Невидимыми будут части сторон EF и FD за точками N и M соответственно

5 1 Пересечение двух треугольников Видимость АВС будет противоположной по отношению к DFЕ. Сторона ВС будет видимой, т.е. располагаться перед плоскостью DFЕ. Наоборот, сторона АС будет невидимой, т.е. проходить за плоскостью DFЕ. Видимость фронтальной проекции определена C1C1 F1F1 E1E1 B1B1 D1D1 A1A1 F2F2 B2B2 A2A2 D2D2 E2E2 P2P T2T2 N 1 N C2C2 5 2 ( ) M 2 M 1

5 1 Пересечение двух треугольников C1C1 F1F1 E1E1 B1B1 D1D1 A1A1 F2F2 B2B2 A2A2 D2D2 E2E2 P2P T2T2 N 1 N C2C2 5 2 ( ) M 2 M ( ) Для определения видимости плоскостей на П 1 возьмем пару горизонтально конкурирующих точек 6 и 7 на пересечении горизонтальных про- екций сторон треугольников. Из совпадающих горизонтальных проекций точек видимой будет точка 7 на прямой АВ, ближайшая к наблюдателю

5 1 Пересечение двух треугольников C1C1 F1F1 E1E1 B1B1 D1D1 A1A1 F2F2 B2B2 A2A2 D2D2 E2E2 P2P T2T2 N 1 N C2C2 5 2 ( ) M 2 M Невидимая на П 1 точка 6 лежит на прямой DE и определяет невидимую нижнюю часть проекции DFЕ. Выше линии пересечения МN расположена видимая часть плоскости DFЕ с вершиной F

5 1 Пересечение двух треугольников C1C1 F1F1 E1E1 B1B1 D1D1 A1A1 F2F2 B2B2 A2A2 D2D2 E2E2 P2P T2T2 N 1 N C2C2 5 2 ( ) M 2 M Плоскости треугольников считаются непрозрачными, поэтому сторона AB будет видимой, т.е. располагаться над плоскость DFЕ. Наоборот, сторона АС будет невидимой, т.е. проходить под плоскостью DFЕ. Видимость горизонтальной проекции определена

1. Чем определяется взаимная параллельность прямой и плоскости? а) точкой на плоскости б) двумя параллельными прямыми в) одной прямой на плоскости Вопросы для самопроверки 2. Сколько прямых, параллельных плоскости, можно провести через данную точку пространства? а) одну б) бесчисленное множество в) две 3. Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей? а) пересекаются б) параллельны 4. Чем определяется взаимная параллельность двух плоскостей? а) двумя пересекающимися прямыми б) двумя параллельными прямыми

Вопросы для самопроверки 5. Как провести вспомогательную плоскость, если требуется определить точку пересечения прямой с плоскостью? а) параллельно данной прямой б) через точку на прямой в) через прямую 6. На каком чертеже прямая АВ параллельна плоскости, заданной пересекающимися прямыми m и n? m 1 n 2 m 2 n 1 A 2 B 2 A 1 B 1 m 1 n 2 m 2 n 1 A 2 B 2 A 1 B 1 m 1 n 2 m 2 n 1 A 2 B 2 A 1 B 1

Вопросы для самопроверки ; ; ) 7. Определить взаимное положение ( ; ; ) прямой АВ и плоскости ( 3 ) ? 3 A 2 B 2 A 1 B 1 В3В3 А3А3 a) АВ a) АВ ? ( 3 ) 3 A 2 B 2 A 1 B 1 (В3)(В3) А3А3 б) АВ б) АВ ? ( 3 ) 3 A 3 B 3 B 1 (В2)(В2) А2А2 A 1 в) АВ в) АВ ? ( 3 )

Вопросы для самопроверки 8. На каком чертеже прямая АВ пересекает плоскость ( MNK) ?11 A 2 B 2 A 1 B 1 К 1 M 1 N 1 M 2 N 2 K 222 A 2 B 2 A 1 B 1 К 1 M 1 N 1 M 2 N 2 K 2 N 233 B 2 A 1 B 1 К 1 M 1 N 1 K 2 (A 2 ) M2M2

Вопросы для самопроверки а) плоскости и пересекаются б) плоскости и параллельны в) для решения необходимо провести еще одну вспомогательную плоскость 9. Определить взаимное положение плоскостей ( ) (m n) и (k l)? m 1 n l 1 k m 2 n 2 l 2 k Т