Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + bх = с, а > 0

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв. Формулы решения квадратных уравнений изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв Лишь в XVII в. Благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

1 способ Разложение на множители

2 способ Метод выделения полного квадрата

3 способ Решение квадратных уравнений по формулам

4 способ Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни – и дробь уж готова? В числителе с, в знаменателе а. А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда. В числителе в, в знаменателе а.

4 способ Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета а) Если сводный член q приведенного уравнения положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны. x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1 x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1 б) Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p 0. x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1,

5 способ Способ переброски Решим уравнение 2 х 2 – 11 х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 11 у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5 у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3. Ответ: 2,5; 3.

6 способ Свойство коэффициентов квадратного уравнения 1) Если а+в+с=0, то 2) Если в = а + с, то

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q.

Пример 1)Решим графически уравнение х х - 4 = 0 (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3 х + 4. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3 х + 4. Прямую у = 3 х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 4

8 способ Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Примеры. Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений. Примеры. 1) Решим уравнение х х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» Для искомой стороны х первоначального квадрата получим S = х х х 2 х 2 6,25 2,5 х S = = 64, значит сторона квадрата 8 Х = 8 – 2,5 – 2,5 = 3

Заключение Выводы: данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики; овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения; потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов;