Линейная функция Исследовательская работа ученицы 7 «а» класса Шаховской средней школы 1 Масловой Ольги руководитель Жигулина Светлана Анатольевна 2009 – 2010 учебный год

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела. С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами: "больше на", "меньше на", "больше во столько-то раз". Если за одного быка давали 6 овец, то двух обменивали уже на 12; если из одного ведра глины можно было сделать 4 горшка, то из Такие расчеты привели к представлениям о пропорциональности величин.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций y= x ²; y= x ³; y= x ² + x ³. Разумеется, путь от составления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Исследования общих зависимостей началось в 14 веке. Среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными ( платье человека, свалившегося в воду, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь). Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивности длинами отрезков. Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: равномерные (то есть с постоянной интенсивностью), равномерно- неравномерные (для которых скорость изменения интенсивности постоянна) и неравномерно- неравномерные (все остальные), а также указал характерные свойства этих графиков.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом ( гг.). Декарту удалось уничтожить пропасть, существовавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнение, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела, здесь была заложена идея метода координат.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Функция - основное понятие математического анализа. Но вначале оно было очень расплывчатым, не имело сколько-нибудь точного описания. Термин "функция" ввел в математику Готфрид Лейбниц ( гг.). Он употреблял его в очень узком смысле, связывая только с геометрическими образами.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: "Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом преобразования этой переменной величины и постоянных". Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона ( ),который изучил колоссальное число самых различных функциональных зависимостей и их свойств

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Один из самых замечательных математиков 18 века - Леонард Эйлер ( гг.), - вводя в своем учебнике понятие функции, говорил лишь, что "когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых".

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА В развитие понятия функции внесли свой вклад французский математик Ж. -Б. Фурье ( гг.), русский ученый Н. И. Лобачевский ( гг.), немецкий математик Дирихле ( гг.) и другие ученые, и общепризнанным стало следующее определение: "Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у".

ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ? Пример 1. Путь, пройденный поездом со скоростью 60 км/ч, зависит от времени движения. Обозначим время буквой t(в часах), а пройденный путь s(в километрах). Для каждого значения переменной t, где t > 0, можно найти соответствующие значения переменной s. Например, если t=1, то s=60; если t=3, то s=180; если t=3,5, то s=210. Зависимость переменной s от переменной t выражается формулой: s=60t. Переменную, значение которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную, значение которой определяются выбранными значениями независимой переменной, называют зависимой переменной. В этом примере t – независимая переменная, а s – зависимая.

ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ? Пример 2. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна а см, а его площадь S см 2. Для каждого значения переменной а можно найти соответствующее ему значение переменной S. Так, например: если а = 3, то S = 3 2 = 9 если а = 15, то S = 15 2 = 225 если а = 0,4, то S = 0,4 2 = 0,16 В этом примере а – независимая переменная, а s – зависимая.

ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ? Зависимую переменную условились обозначать у, а независимую - х Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. Значение y, соответствующее данному значению x, называется значением функции. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает функции (при x, принадлежащих ее области определения) образуют область значений функции.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ПО ФОРМУЛЕ. Пример 1. Функция задана формулой y=2x - 5. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 1; 4; 0,5 ;9. Подставим в формулу y=2x-5 вместо х числа 1 ;4; 0,5 и 9. Получим: Если х= 1, то у= -3; Если х= 4, то у= 3; Если х= 0,5, то у= -4; Если х= 9, то у= 13.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ПО ФОРМУЛЕ Пример 2. Функция задана формулой у=11 х - 4. Найдем, при каком значении х значение функции равно 7. Подставим в формулу у=11 х - 4 вместо у число 7. Получим уравнение: 7= 11 х – 4. Решим его: 11 х= х= 11 х=1. Значит, у= 7, при х= 1.

ГРАФИК ФУНКЦИИ Определение: Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Построение графика линейной функции Пример 1. Построим график функции у= 2 х + 4. Функция у= 2 х+4 линейная, поэтому её графиком является прямая. Найдем координаты двух точек графика: если х= 1, то у= 6; если х= -3, то у= -2. Отметим точки А(1;6) и В(-3; - 2).Проведем через них прямую. Прямая АВ есть график функции у= 2 х + 4.

Как зависит расположение графика линейной функции от коэффициента k. Если К>0, то между прямой и положительным направлением оси Х острый угол.

Как зависит расположение графика линейной функции от коэффициента k. Если К<0, то между прямой и положительным направлением оси Х тупой угол.

Как зависит расположение графика линейной функции от коэффициента в. Коэффициент в равен ординате точки пересечения графика линейной функции с осью У.

Как располагаются графики двух линейных функций, заданных формулами вида y= kx+ b, если коэффициенты при х одинаковы. Графики двух линейных функций, заданных формулами вида y= kx+ b, параллельны, если коэффициенты при х одинаковы.

Как располагаются графики линейных функций, заданных формулами вида y= kx+ b, если коэффициенты в одинаковы. Графики нескольких линейных функций, заданных формулами вида y= kx+ b, с одинаковым коэффициентом в пересекаются в одной точке. Причём, эта точка лежит на оси У и её ордината равна коэффициенту в.

Выясню, как располагаются графики двух линейных функций, заданных формулами вида y= kx+ b, если выполняется условие к 1 · к 2 = - 1. Если даны две функции, заданные формулами y= kx+ b и выполняется условие к 1 · к 2 = - 1, то графики этих функций взаимно перпендикулярны

КАК БЫСТРО ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ Допустим, нужно построить график функции, заданной формулой у = х + 5. От начала координат вверх 5 - это одна точка прямой; от нее вправо 4 - это промежуточная точка; от этой точки вверх 3 - это вторая точка прямой; осталось провести прямую.

КАК БЫСТРО ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ А если это функция у = - 4 х - 2? Но мы же знаем как целые числа представлять в виде дроби. Значит, у = х - 2 1) От точки О вниз 2, т.к. "-2" (точка А); 2) от точки А влево 1, т.к. "-1"; 3) от этой точки вверх 4, т.к. "+4" (точка В); 4) прямая АВ - график функции.

КАК БЫСТРО ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ у = 1,6 х – 2? Мы уже знаем, как десятичную дробь заменять обыкновенной. 1,6 = =. Значит, функция будет записана так: у = х – 2. (2 вниз, 5 вправо, 8 вверх)

Заключение В дальнейшем я планирую исследовать другие функции, которые мы будем изучать на уроках алгебры.