Выполнили: Тимошкин Иван, Никитин Никита, Кривобатова Юля САРАНСК 2009 МОУ(средняя школа 40)

Тема 1. Центральная симметрия.Центральная симметрия Тема 2. Осевая симметрия.Осевая симметрия Тема 3. Зеркальная симметрия.Зеркальная симметрия Тема 4. Параллельный перенос.Параллельный перенос

Определение 1. Точки A и A 1 называются симметричными относительно точки О, если точки A, A 1, O лежат на одной прямой и OX = OX 1. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О). Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно. Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О, тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной. 2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О. Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X 1 и Y 1, что X 1 Y 1 = -XY.

Доказательство Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X 1 и Y 1. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX 1 = -OX, OY 1 = -OY. Вместе с тем XY = OY - OX, X 1 Y 1 = OY 1 - OX 1. Поэтому имеем: X 1 Y 1 = -OY + OX = -XY. Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия. Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А 1, то центр симметрии это середина отрезка AA 1.

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180°. При повороте вокруг прямой а на 180° каждая точка A переходит в такую точку A 1, что прямая a перпендикулярна отрезку AA 1 и пересекает его в середине. Про такие точки A и A 1 говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180 градусов вокруг прямой называется осевой симметрией в пространстве.

Определение 1. Точки A и A 1 называются симметричными относительно плоскости, если отрезок AA 1 перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости считается симметричной самой себе относительно этой плоскости. Две фигуры F и F 1 называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости (а плоскость плоскостью симметрии).

2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией). Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением. См. Доказательство.Доказательство Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением. Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.

Определение Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X 1 и Y 1, что XX 1 = YY 1. Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X 1 Y 1 = XY. Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос. Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос. Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A 1 переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA 1, и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX 1 = AA 1 для всех точек Х.