Піраміда – опуклий многогранник, який складається з плоского многокутника, точки, що не лежить в його площині і всіх відрізків, що сполучають дану точку з точками многокутника (основи).

Вершина Основа Бічні ребра Бічні грані - трикутники Висота піраміди – довжина перпендикуляра, опущеного з вершини піраміди на її основу. h Висота, h

Трикутнапіраміда O M A S B C L K T

Нехай SАВС – правильна піраміда, в основі якої лежить правильний трикутник АВС. Якщо SО -висота піраміди, то О - центр трикутника АВС і точка О лежить на висоті та медіані АL трикутника АВС. M A S B C L K T Тоді пряма ВС перпендикулярна до відрізка OL, який є проекцією похилої SL. Отже, ВС ^ SL,за теоремою про три перпендикуляри. O

Отже, площина SLO перпендикулярна до прямої ВС. Але площина SВС проходить через пряму ВС, тому площини SBC і SLO перпендикулярні.В одній із перпендикулярних площин (в SLO) побудуємо відрізок МК (М - середина висоти SO), перпендикулярний до SL. Тоді відрізок МК перпендикулярний до площини SBC. Отже, основа перпендикуляра, проведеного із середини висоти піраміди на бічну грань, лежить на її апофемі. M A S B C L K T O

Нехай SM = х (x >0). Тоді SO=2SM=2x. З прямокутного трикутника SМК: З прямокутного трикутника SМТ: M A S B C L K T O

Використовуючи подібність прямокутних трикутників зі спільним гострим кутом маємо:з подібних трикутників SOL i SMK: M A S B C L K T O

із подібних трикутників SОА і SТМ: M A S B C L K T O

Оскільки трикутник АВС правильний,то АО = 2ОL. Тоді M A S B C L K T O

Знайдемо площу основи піраміди = бічн S S осн cosφ 3 S бічн = cosφ АВ 2 4 M A S B C L K T O

Чотирикутна піраміда Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає від неї подібну піраміду. Висота піраміди Кут між бічною гранню і площиною основи Бічні грані – трикутники

F S A D L B C O M K

Нехай Н - висота піраміди, а - довжина сторони основи. Розглядаючи подібні трикутники OMS і ABS, знайдемо: Аналогічно із трикутників OKS і CBS отримаємо: Розділивши почленно рівність (1) на (2), будемо мати:

звідки Підставивши цей вираз в (1), легко знайдемо: S основи = S бічн. = S основи cosφ S бічн. = 8b²h² (h²b²) cosφ

Шестикутна піраміда

Нехай OK перпендикулярно AB, тоді SK перпендикулярно AB за теоремою про три перпендикуляри. Отже, AB перпендикулярна до площини SOK. Звідси, якщо ON перпендикулярна до SK, то ON перпендикулярна до площини ASB. ON = H cosφ

Дякуємо за увагу! Проект виконали учениці 11-А класу Орлик Юлія та Мельник Анна