Дифференциальное исчисление «Открытие бесконечно малых дало математикам возможности свести законы движения тел к аналитическим уравнениям» Ж.И.Лагранж

Лейбниц Готфрид Фридрих ( ) ' великий немецкий ученый. Философ, математик, физик, юрист, языковед. Создатель (наряду с Ньютоном) математического анализа. Основоположник большой математической школы. Идеи Лейбница оказали значительное влияние на развитие математической логики. Основоположники дифференциального исчисления Ньютон Исаак ( ) великий английский ученый. Одновременно с Г. Лейбницем разработал основы математического анализа. Создатель классической механики. Нью­ тону принадлежат выдающиеся открытия в оптике, других разделах физики и математики. Главный его труд «Математические начала натуральной философии» оказал колоссальное влияние на развитие естествознания.

Дифференциальное исчисление – это раздел математического анализа Изучает производную и дифференциал функции Законы дифференцирования (правила вычисления производных) Применение производных Нахождение скорости и ускорения Составление уравнения касссательной Исследование свойств функций Построение графиков функций У Х

У – функция Х – аргумент Δ У – приращение функции Δ Х – приращение аргумента У ' – производная функции У '' – вторая производная функции Действие нахождения производной данной функции называется дифференцированием Определение производной

Для нахождения производной от функции в общем виде необходимо: Найти значение функции в точке Найти приращение функции Найти

Формулы дифференцирования

Правила дифференцирования С ' = 0 ; ( U + V – W )' = U ' + V ' - W ' ; (CU) ' = C٠U ', где С- постоянная величина (U٠V) ' = U '٠V + U٠V ' ;

С помощью производной можно найти: скорость движения тела ускорение движения тела составить уравнение касссательной к графику функции построить график функции

Правило нахождения скорости движения тела в данный момент времени Необходимо: найти производную записать скорость в любой момент времени вычислить скорость в заданный момент времени S(t)-закон движения тела V(t) – скорость t- время - заданное время

Правило нахождения ускорения движения тела в данный момент времени Необходимо: найти первую производную найти вторую производную записать ускорение в любой момент времени вычислить скорость в заданный момент времени а (t) – ускорение тела

Геометрический смысл производной 0 Х У Х0Х0 У0У0 М( Х0; У0 ) α У=f (x) У' = tgα = k У

Геометрический смысл производной У' = tgα = k Угловой коэффициент касссательной к графику функции, проведенной в точке М (Х0; У0)

Зная производную к графику функции в заданной точке М(Х0; У0), можно составить уравнение касссательной, проходящей через эту точку. Для этого необходимо: записать уравнение множества (пучка)прямых, проходящих через точку М(Х0; У0) У – У 0 = k (X – X 0 ) вычислить угловой коэффициент касссательной по формуле: k кассс = f '(x 0 ) подставить в уравнение пучка прямых: У – У 0 = k кассс (х-х 0 ) привести уравнение к виду : У = k x + b

Схема исследования функции и построения её графика 1. Определить вид функции. 2. Исследовать функцию на четность, нечетность. 3. Исследовать функцию на периодичность. 4. Исследовать функцию на непрерывность(найти точки разрыва). 5. Найти точки пересечения с осями координат(если это возможно). 6. Определить экстремумы функции. 7. Найти интервалы монотонности. 8. Найти точки перегиба. 9. Найти интервалы выпуклости. 10. Построить график функции.