Координатный метод в решении задач С2 ЕГЭ 11 класс

Общие сведения В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых, как правило, нужно найти одну из следующих величин: Угол между скрещивающимися прямыми это угол между двумя прямыми, которые пересекаются в одной точке и параллельны данным прямым. Угол между прямой и плоскостью это угол между самой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Угол между двумя плоскостями это угол между прямыми, которые лежат в данных плоскостях и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей. Прямые всегда задаются двумя точками на поверхности или внутри многогранника, а плоскости тремя. Сами многогранники всегда задаются длинами своих граней.

Метод координат в задаче C2 1. Метод координат в пространстве прямые и плоскости заменяются векторами. 2. Введение системы координат для многогранников. Дело в том, что в настоящей задаче C2 никаких координат не будет. Их надо вводить самостоятельно.Введение системы координат для многогранников 3. Вычисление угла между двумя прямыми. А это уже решение конкретных задач C2. Мы научимся находить косинус угла между двумя прямыми где бы эти прямые ни лежали.Вычисление угла между двумя прямыми 4. Вычисление угла между прямой и плоскостью. Во многих задачах C2 встречаются плоскости. Для любой прямой можно рассчитать синус угла между плоскостью и этой прямой. Именно синус и только затем косинус! 5. Вычисление угла между двумя плоскостями. Тут все просто: заменяем плоскости нормальными векторами и считаем угол между последними. Косинус угла между векторами это и косинус угла между плоскостями.

Метод координат в пространстве Формулы: 1. Главная формула косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2): 2. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат - D = 0, а если не проходит, то D = 1. 3.Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C). 4. Угол между прямой L (c направляющими коэффициентами l,m,n и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0:

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5). Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу: Ответ: 36/65 Задача. Плоскость задана уравнением 7x 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. Решение. Используя третью формулу, получаем Ответ: n = (7; 2; 4)

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат точку (0; 0; 0) то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство. Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат. Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем: A · 2 + B · 0 + C · = 0 2A + C + 1 = 0; Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения: A · 0 + B · 1 + C · = 0 B + C + 1 = 0; A · 2 + B · 1 + C · = 0 2A + B + 1 = 0; Составим и решим систему уравнений: Уравнение плоскости имеет вид: 0,25A 0,5B 0,5C + 1 = 0. Чему равен нормальный вектор этой плоскости?

Вопрос: где взять координаты точек? ТочкаABCD Координ аты (0; 0; 0)(1; 0; 0)(1; 1; 0)(0; 1; 0) Ответ: необходимо ввести систему координат Координаты куба z x Y Начало координат в точке A; Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок; Ось x направляем по ребру AB, y по ребру AD, а ось z по ребру AA1. A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 (0; 0; 1)(1; 0; 1)(1; 1; 1)(0; 1; 1)

Координаты трехгранной призмы 1. Начало координат в точке A; 2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи; 3. Ось x направляем по ребру AB, z по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Координаты шестигранной призмы Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы 1. Начало координат точку O поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. 2. Ось x пойдет вдоль FC, 3. Ось y через середины отрезков AB и DE. 4. Ось z. проводим перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх

Координаты четырехугольной пирамиды 1. Начало в точке A. 2. Единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y вдоль AD, а ось z вверх, перпендикулярно плоскости OXY. 3. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH вот и построим ее. Получим :

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF. РЕШЕНИЕ. 1)Положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых. 2) Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E середина отрезка A1B1, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1). 3)Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F середина отрезка B1C1. Имеем: BF = (1 1; 0,5 0; 1 0) = (0; 0,5; 1). 4) Косинус угла между прямыми это косинус угла между направляющими векторами, поэтому Ответ: arccos 0,8