Алгебра логики

Алгебра высказываний Служит для определения истинности или ложности составных высказываний, не вникая в их содержание; В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые латинскими буквами: Например: A – «Крокодилы летают» B – «Земля вращается вокруг Солнца» Если высказывание истинно, то ему соответствует значение логической переменной 1, если ложно – 0; Тогда: A = 0, B = 1 Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания;

Логические операции Логическое умножение Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» («а», «но») называется операцией логического умножения или конъюнкцией. Правило истинности Составное высказывание, образованное в результате логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие в него простые высказывания.

Логическое умножение Обозначение операции логического умножения: &, ^, *; Пусть имеется два простых высказывания A и B, составим составное высказывание F с помощью конъюнкции: F = A & B; Значение логической функции можно определить с помощь таблицы истинности. ABF = A & B

Задание: 1. Даны высказывания: D – «Число 10 делится на 2 без остатка»; S – «Париж – столица России». Сформулировать на обычном языке высказывание A=S&D. Определить его истинность. 2. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность. Число 376 четное и трехзначное. Солнце движется вокруг Земли, и Луна – спутник Венеры. На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.

Логическое сложение Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией. Правило истинности Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний. Логические операции

Логическое сложение Обозначение операции логического сложения: ; +; Пусть имеется два простых высказывания A и B, составим составное высказывание F с помощью дизъюнкции: F = A B; Значение логической функции можно определить с помощь таблицы истинности. AB F = A B

Задание: 1. Даны высказывания: M – «Число 12 - простое»; N – «Париж – столица Франции». Сформулировать на обычном языке высказывание K=M N. Определить его истинность. 2. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность. Зимой дети катаются на коньках или на лыжах Сканер – устройство вывода информации, или Луна – спутник Земли. На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, или писали самостоятельную работу.

Строгая дизъюнкция Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью двойного или (либо… либо…) называется строгой дизъюнкцией. Правило истинности Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно только одно из входящих в него простых высказываний. Логические операции

Строгая дизъюнкция Обозначение операции логического сложения: Пусть имеется два простых высказывания A и B, составим составное высказывание F с помощью дизъюнкции: F = A B; Значение логической функции можно определить с помощь таблицы истинности. AB F = A B

Логическое отрицание Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией A F = ¬ A Правило истинности Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное - истинным. Обозначение инверсии: ¬; ¯ Пусть имеется простое высказывание A, составим составное высказывание F с помощью инверсии: F = ¬ A (F = )

Задание: 1. Даны высказывания: M – «Число 12 - простое»; N – «Париж – столица Франции». Сформулировать на обычном языке высказывание K=¬M. Определить его истинность. 2. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность. –Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. –Число 5 не составное. 3. Постройте отрицания следующих высказываний: –Сегодня в театре идет опера «Евгений Онегин». –Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, являются простыми числами. –Коля решил все задания контрольной работы. –Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом. 4. Пусть p=Ане нравятся уроки математики,а q=Ане нравятся уроки химии. Выразите формулы на обычном языке: p&q; ¬p&q; p ¬q; ¬p ¬q; ¬(p&q).

Логическое следование Соединение двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…» называется операцией логического следования или импликацией Правило истинности Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда, когда из истинной посылки (высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание) Логические операции

Импликация Обозначение импликации:, Формула: F = A B Таблица истинности AB A B

Задание: 1. Пусть a = Через Смоленск протекает Днепр, b = Луна сделана из теста. Сформулируйте на обычном языке высказывание x = a b. Определите его истинность. 2. Пусть s = Через Смоленск протекает Енисей, c = 2+4 = 6, n = 2+3=8. Сформулируйте на русском языке высказывания: d = s c; m = c s; k = s n. Определите их истинность. 3. Пусть p=Ане нравятся уроки математики,а q=Ане нравятся уроки химии. Выразите формулы на обычном языке: p q; p ¬ q; ¬ (p q)

Логическое равенство Соединение двух высказываний в одно помощью оборота речи «тогда и только тогда, когда» называется операцией логического равенства или эквивалентностью Правило истинности Составное высказывание, образованное с помощью операции логического равенства (эквивалентности), истинно только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны

Обозначение эквивалентности:,, Формула: F = A B Таблица истинности AB F = A B Логическое равенство

Задание : 1. Пусть s = Через Смоленск протекает Енисей, c = 2+4 = 6, n = 2+3=8. Сформулируйте на русском языке высказывания: d = s c; m = c s; k = s n. Определите их истинность. 2. Пусть p=Ане нравятся уроки математики,а q=Ане нравятся уроки химии. Выразите формулы на обычном языке: p q; p ¬ q; ¬ (p q)

Приоритет действий 1. Инверсия 2. Конъюнкция 3. Дизъюнкция 4. Импликация 5.Эквивалентность