Степень и логарифм числа. Показательная и логарифмическая функция. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Содержание Степень Степень Степень Логарифм Логарифм Логарифм

Степень Свойства степеней Свойства степеней Свойства степеней Свойства степеней Функция Функция 1. Определение 1. Определение Определение 2. Свойства 2. Свойства Свойства 3. График 3. График График Уравнение Уравнение 1. Определение 1. Определение Определение 2. Способы решения некоторых простейших показательных уравнений 2. Способы решения некоторых простейших показательных уравнений Способы решения некоторых простейших показательных уравнений Способы решения некоторых простейших показательных уравнений Неравенства Неравенства 1. Способы решения показательных неравенств 1. Способы решения показательных неравенств Способы решения показательных неравенств Способы решения показательных неравенств

Логарифм Свойства логарифмов Свойства логарифмов Свойства логарифмов Свойства логарифмов Функция Функция 1. Определение 1. Определение Определение 2. Свойства 2. Свойства Свойства 3. График 3. График График Уравнение Уравнение 1. Способы решения логарифмических уравнений 1. Способы решения логарифмических уравнений 1. Способы решения логарифмических уравнений 1. Способы решения логарифмических уравнений Неравенство Неравенство 1. Способы решения логарифмических неравенств 1. Способы решения логарифмических неравенств 1. Способы решения логарифмических неравенств 1. Способы решения логарифмических неравенств

Показательная функция Показательной функцией называется функция вида, где a -некоторое положительное действительное число, a0 называемое основанием степени. Показательной функцией называется функция вида, где a -некоторое положительное действительное число, a0 называемое основанием степени.

Свойства показательной функции 0 < a < 1 1. D (у)=R, E (y)= у=0 – уравнение горизонтальной асимптоты у=0 – уравнение горизонтальной асимптоты 2. Функция не является не четной и не является нечетной: 3. Функция непериодична 3. Функция непериодична а > 1 1. D (у)=R, E (y)= у=0 – уравнение горизонтальной асимптоты у=0 – уравнение горизонтальной асимптоты 2. Функция не является не четной и не является нечетной:, 3. Функция непериодична

3. Функция не имеет нулей => точек пересечения с Ох нет. Точка пересечения с Оу(0;1), т. к.. Точка пересечения с Оу(0;1), т. к.. 4. Функция положительна при любом значении. При х 1; при x>0 y 1; при x>0 y<1. 5. Функция убывает на всей своей D(у). 6. и не принимает. 3. Функция не имеет нулей => точек пересечения с Ох нет. Точка пересечения с Оу (0;1), т. к. Точка пересечения с Оу (0;1), т. к. 4. Функция положительна при любом значении. При х 0 y>1. При х 0 y>1. 5. Функция возрастает на всей своей D(у). 6. и не принимает. 6. и не принимает.

График показательной функции

Показательные уравнения Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная содержится только в показателе степени. Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная содержится только в показателе степени. Простейшим показательным уравнением является уравнение вида: Простейшим показательным уравнением является уравнение вида: где a и b – некоторые положительные числа ( a 1), а х – некоторое алгебраическое выражение. где a и b – некоторые положительные числа ( a 1), а х – некоторое алгебраическое выражение.

Способы решения некоторых простейших показательных уравнений 1., где, 2.3. Для решения этого уравнения необходимо правую и левую часть привести к одному основанию. Далее идет решение, как в уравнении второго вида. Для решения этого уравнения необходимо правую и левую часть привести к одному основанию. Далее идет решение, как в уравнении второго вида.

4.5. Производим замену:, Производим замену:,6. Решать сведением к квадратному уравнению Решать сведением к квадратному уравнению 7. Однородное уравнение второго порядка Однородное уравнение второго порядка

Примеры 1., ОДЗ: Ответ: Ответ:

Примеры 2. ОДЗ: Ответ: x=1

Примеры 3. а) Ответ: б) б) Прологарифмируем данное уравнение: Прологарифмируем данное уравнение: Ответ:

Примеры 4. а) ОДЗ:х 0 Ответ:

б) ОДЗ: Ответ:

Примеры 5. ОДЗ:

Примеры 6. ОДЗ:

Примеры 7. ОДЗ: х 0 т.к., то разделим на это выражение: т.к., то разделим на это выражение: производим замену, производим замену,

не удовлетворяет условию у>0 => не удовлетворяет условию у>0 =>

Способы решения показательных неравенств 1. а) б) б)2.3.

Примеры 1. а) т.к. монотонно возрастает (3>1), то последнее неравенство равносильно: т.к. монотонно возрастает (3>1), то последнее неравенство равносильно: X>4 X>4 Ответ: Ответ:

1. б) функция монотонно убывает, то последнее неравенство равносильно: функция монотонно убывает, то последнее неравенство равносильно:

Примеры 2. выносим с наименьшей степенью: выносим с наименьшей степенью: т. к. - функция монотонно возрастает, то последнее неравенство равносильно неравенству: т. к. - функция монотонно возрастает, то последнее неравенство равносильно неравенству: Ответ:

Примеры 3. производим замену: производим замену:

Обратная замена:

Свойства степени

Логарифмическая функция Функцию, обратную показательной функции, называют логарифмической и обозначают: Функцию, обратную показательной функции, называют логарифмической и обозначают:

Свойства логарифмической функции уравнение вертикальной асимптоты 2)Функция не является четной и не является нечетной и ;функция непериодична ;функция непериодична 1) 3) x=1- нуль функции; (1;0)- точка пересечения; Точек пересечения с Оу нет. 4) 5) Функция возрастает на всей своей области определения при а>1, функция убывает при 0 1, функция убывает при 0<a<1. 6) y(min) и y(max) не принимает. Промежутки знакопостоянства а> <a<1

График

Логарифмические уравнения 1. Простейшие логарифмические уравнения Простейшие логарифмические уравнения Простейшие логарифмические уравнения 2. Уравнения типа Уравнения типа Уравнения типа 3. Уравнения первой степени относительно log Уравнения первой степени относительно log Уравнения первой степени относительно log 4. Уравнение второй и высшей степени относительно log Уравнение второй и высшей степени относительно log Уравнение второй и высшей степени относительно log 5. Уравнения на применение Уравнения на применение Уравнения на применение 6. Уравнения, на применение формулы к другому основанию Уравнения, на применение формулы к другому основанию Уравнения, на применение формулы к другому основанию 7. Уравнения, содержащие выражения вида Уравнения, содержащие выражения вида Уравнения, содержащие выражения вида 8. Однородные уравнения Однородные уравнения Однородные уравнения

1.

2.

3. Производим замену:

4. Произведем замену:

5.,,,

6.

7. Ответ:

8. т.к. не является корнем данного уравнения, то разделим обе части уравнения на :

- не удовлетворяет ОДЗ

Свойства логарифмов Еслито

Способы решения логарифмических неравенств m,n,c-данное число

Т.к. функция монотонно убывающая на всей своей области определения и 2x+59>0, то последнее неравенство равносильно системе неравенств: системе неравенств: Ответ:x 1)

Учитывая область определения функции y= и ее монотонное и ее монотонное возрастание заменим неравенство равносильной ему системой: Ответ: 2) )

Т.к. функция возрастает и учитывая область допустимых значений, сделаем вывод, последнее неравенство равносильно совокупности сделаем вывод, последнее неравенство равносильно совокупности двух систем: двух систем: Ответ: 3)