Стереометрия
Предмет и аксиомы стереометрии. СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стерео» - объёмный, пространственный и «метро» - измерять. Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.
Неопределяемые понятия и отношения Точка есть то, что не имеет частей. Прямая есть длина без ширины. Плоскость есть то, что имеет только длину и ширину. Точка Прямая Плоскость Формулировки Евклида: Современная концепция :
Простейшие геометрические тела
Геометрические фигуры Геометрические тела, как и другие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических пространственных фигур мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов.
Условные изображения пространственных фигур. Условное изображение пространственной фигуры – это её проекция на плоскость. Обычно выбирают то изображение, которое создаёт правильное представление о форме фигуры.
Условные обозначения Точки - прописными латинскими буквами (A, B, C, D, E, F, G, H,...) Прямые – строчными латинскими буквами (a, b, c, d, e, f, g, h,...) Плоскости – строчными греческими буквами (
Греческий алфавит альфа бета гамма дельта эпсилон дзета каппа тата ню кси омикрон пи ро сигма тау ипсилон фи хи пси омега – йота – каппа – мю - лямбда
Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей Точка А принадлежит плоскости Точка В не принадлежит плоскости Прямая с не лежит в плоскости Прямая k лежит в плоскости Прямая m пересекает плоскость в точке А Плоскости и пересекаются по прямой а
Что такое аксиома? АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»). Аксиомы были сформулированы Евклидом ( III в. До н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».
Вспомним известные вам аксиом планиметрии: Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. ВОПРОСЫ: -всегда ли три точки лежат в одной плоскости? -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? -сколько плоскостей можно провести через две точки?
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. ВОПРОСЫ: верно ли утверждение: -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? -если три точки окружности лежат в в этой плоскости? -если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь: -только одну общую точку? -только две общие точки? -только одну общую прямую? -могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?
Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD 1 C 1, BB 1 C 1 и AA 1 B 1, AA 1 D 1 и A 1 B 1 C 1 ; а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC 1, ABC, ADD 1 ; б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P 1, R, S, N; в) назовите плоскости, в которых расположены прямые KP, С 1 D 1, RP, MK ; ВОПРОСЫ:
Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС 1, BDC 1 ; е) назовите точки пересечения прямых DS и CC 1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1; ж) назовите общие точки плоскостей CDD 1 и BCC 1, ABC и АА1D1, BDC и ABB1.BDС1 и RSP; ВОПРОСЫ: