ВЕКТОРЫ вход

СОДЕРЖАНИЕ I. Понятие вектора в пространстве Понятие вектора в пространстве II.Коллинеарные векторы Коллинеарные векторы III.Компланарные векторы Компланарные векторы IV.Действия с векторами Действия с векторами V.Разложение вектора Разложение вектора ЗАДАЧИ Выход

ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора – длина отрезка AB. А В M

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы

СОНАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. Равные векторы

РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Противоположные векторы

ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор.

ПРИЗНАК КОЛЛИНЕАРНОСТИ Доказательство

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИЗНАКА КОЛЛИНЕАРНОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРОВ Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример: B А C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1

О КОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРАХ Любые два вектора всегда компланарныйй. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарныйй. α если

ПРИЗНАК КОМПЛАНАРНОСТИ Доказательство

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИЗНАКА КОМПЛАНАРНОСТИ С O A1A1 B1B1 B A

СВОЙСТВО КОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРОВ

ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ Сложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда Свойства сложения

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА А B C

А B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА А B C

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ

ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B A C D E Пример

ПРИМЕР C A B D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА B А C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.

СВОЙСТВА B А C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ Вычитание Сложение с противоположным

ВЫЧИТАНИЕ Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору.

ВЫЧИТАНИЕ B A Правило трех точек C

ПРАВИЛО ТРЕХ ТОЧЕК Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. А B K

СЛОЖЕНИЕ С ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору. АB O

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

СВОЙСТВА Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

СВОЙСТВА

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Справедливые утверждения Вычисление скалярного произведения Вычисление скалярного произведения в координатах Свойства скалярного произведения

СПРАВЕДЛИВЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины

ВЫЧИСЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ Доказательство

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ O A B α OBAOBA

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон)

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА По двум неколлинеарным векторам По трем некомпланарныййм векторам

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ O AA1A1 B P 1)Пусть коллинеарен. Тогда, где y – некоторое число. Следовательно, т.е. разложен по векторам и.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2) не коллинеарен ни вектору, ни вектору. Отметим О – произвольную точку.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ТРЕМ НЕКОМПЛАНАРНЫМ ВЕКТОРАМ Если вектор p представлен в виде где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам, и. Числа x, y, z называются коэффициентами разложения. Теорема Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарныййм векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ С O A B P1P1 P2P2 P

Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -

БАЗИСНЫЕ ЗАДАЧИ Вектор, проведенный в середину отрезка Вектор, проведенный в точку отрезка Вектор, соединяющий середины двух отрезков Вектор, проведенный в центроид треугольника Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда

ВЕКТОР, ПРОВЕДЕННЫЙ В СЕРЕДИНУ ОТРЕЗКА, С A B O равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.

ВЕКТОР, ПРОВЕДЕННЫЙ В ТОЧКУ ОТРЕЗКА С A B O mn Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п.

ВЕКТОР, СОЕДИНЯЮЩИЙ СЕРЕДИНЫ ДВУХ ОТРЕЗКОВ, С A B D M N С A B D M N равен полусумме векторов, соединяющих их концы.

ВЕКТОР, ПРОВЕДЕННЫЙ В ЦЕНТРОИД ТРЕУГОЛЬНИКА, Центроид – точка пересечения медиан треугольника. С O A B M равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.

ВЕКТОР, ПРОВЕДЕННЫЙ В ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, A B C D O M Доказательство равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.

ВЕКТОР, ЛЕЖАЩИЙ НА ДИАГОНАЛИ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, C A B D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

РЕШЕНИЕ

/HM/AG/01/M.HTM php СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

УЧЕНИЦЫ 11 «В» КЛАССА МБОУ СОШ 1 АННА СЕРГЕЕВНА ШАТАЛИНА И АНЖЕЛА ЮРЬЕВНА ОБЛЕЗНИКОВА