Координатная прямая Координатной прямой, или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O, называемая началом координат, и единичный отрезок OE, указывающий положительное направление координатной прямой. Координатой точки А на координатной прямой называется расстояние x от точки А до начала координат О, взятое со знаком "+", если А принадлежит положительной полуоси, и со знаком "–", если А принадлежит отрицательной полуоси. Теорема. Расстояние между точками А 1, А 2 на координатной прямой с координатами x 1, x 2 соответственно выражается формулой: А 1 А 2 = |x 2 – x 1 |.

Координатная плоскость Прямоугольной системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Начало координат обозначается буквой O, а координатные прямые обозначаются Ox, Oy и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Плоскость, с заданной прямоугольной системой координат, называется координатной плоскостью.

Координаты точки Пусть A – точка на координатной плоскости. Через точку A проведем прямую, перпендикулярную оси Ox, и точку ее пересечения с осью Ox обозначим A x. Координата этой точки на оси Ox называется абсциссой точки A и обозначается x. Аналогично через точку А проведем прямую, перпендикулярную оси Оy и точку ее пересечения с осью Оy обозначим A y. Координата этой точки на оси Oy называется ординатой точки А и обозначается y. Таким образом, точке А на координатной плоскости соответствует пара (x, y), называемая координатами точки на плоскости относительно данной системы координат. Точка А с координатами (x, y) обозначается А(x, y).

Р. Декарт Впервые прямоугольные координаты были введены Р. Декартом ( ), поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой системой координат, а сами координаты – декартовыми координатами. Введение прямоугольных координат на плоскости позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот, алгебраические задачи – к геометрическим. Метод, основанный на этом, называется методом координат.

Вопрос 1 Какая прямая называется координатной? Ответ. Координатной прямой, или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O, называемая началом координат, и единичный отрезок OE, указывающий положительное направление координатной прямой.

Вопрос 2 Что называется координатой точки на координатной прямой? Ответ. Координатой точки А на координатной прямой называется расстояние x от точки А до начала координат О, взятое со знаком "+", если А принадлежит положительной полуоси, и со знаком "–", если А принадлежит отрицательной полуоси.

Вопрос 3 Как выражается расстояние между двумя точками на координатной прямой? Ответ. Расстояние между точками А 1, А 2 на координатной прямой с координатами x 1, x 2 соответственно выражается формулой: А 1 А 2 = |x 2 – x 1 |.

Вопрос 4 Что называется прямоугольной системой координат на плоскости? Ответ. Прямоугольной системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат.

Вопрос 5 Какая плоскость называется координатной плоскостью? Ответ. Плоскость, с заданной прямоугольной системой координат, называется координатной плоскостью.

Вопрос 6 Как обозначаются и как называются координатные прямые на координатной плоскости? Ответ. Координатные прямые обозначаются Ox, Oy и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат.

Упражнение 1 На координатной прямой точки A 1, A 2 имеют координаты x 1 и x 2 соответственно. Найдите координату середины A отрезка A 1 A 2. Ответ:

Упражнение 2 Для заданных точек на координатной плоскости найдите их координаты. Ответ: A(3, 1), B(2, 3), C(1, 2), D(–2, 2), E(–1, –2), F(4, –1).

Упражнение 3 На координатной плоскости изобразите точки A(2, 1), B(1, 3), C(4, 2), D(-3, 2), E(-2, -3), F(3, -2).

Упражнение 4 На прямой, параллельной оси абсцисс, взяты две точки. У одной из них ордината равна 2. Чему равна ордината другой точки? Ответ: 2.

Упражнение 5 На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, взяты две точки. У одной из них абсцисса равна 3. Чему равна абсцисса другой точки? Ответ: 3.

Упражнение 6 Изобразите угол AOB, для которого: а) A(3, 0), O(0, 0), B(0, 3); б) A(3, 0), O(0, 0), B(3, 3); в) A(3, 0), O(0, 0), B(-3, 3). Найдите его величину. Ответ: а) 90 о ; б) 45 о ; в) 135 о.

Упражнение 7 Изобразите угол ABC, для которого: а) A(2, 1), B(-1, 1), C(2, -2); б) A(2, -1), B(-1, 2), C(1, 4); в) A(-1, 0), B(3, 2), C(2, 4). Найдите его величину. Ответ: а) 45 о ; б) 90 о ; в) 90 о.

Упражнение 8 Из точки А(2, 3) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите координаты основания перпендикуляра. Ответ: (2, 0).

Упражнение 9 Через точку А(2, 3) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты ее точки пересечения с осью ординат. Ответ: (0, 3).

Упражнение 10 Ответ: а) (3, 2); Найдите координаты середины отрезка АВ, если: а) А(1, -2), В(5, 6); б) А(-3, 4), В(1, 2); в) А(5, 7), В(-3, -5). б) (–1, 3); в) (1, 1).

Упражнение 11 Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых: а) x 0; б) y 0. Ответ: а) Полуплоскость, расположенная справа от оси ординат; б) полуплоскость, расположенная ниже оси абсцисс, без самой оси абсцисс; в) левый верхний квадрант координатной плоскости; г) правый верхний и левый нижний квадранты координатной плоскости, без осей координат.

Упражнение 12 Изобразите треугольник ABC, для которого A(-2, - 1), B(2, -1), C(-2, 1). Какой это треугольник? Ответ. Прямоугольный.

Упражнение 13 Изобразите треугольник ABC, для которого A(-2, - 2), B(2, -2), C(0, 1). Какой это треугольник? Ответ. Равнобедренный.

Упражнение 14 Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, 0), B(0, -2), C(2, 0), D(0, 2). Какой это четырехугольник? Ответ. Квадрат.

Упражнение 15 Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, 1), B(2, -1), C(3, 1), D(-1, 3). Какой это четырехугольник? Ответ. Прямоугольник.

Упражнение 16 Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, 1), B(2, 2), C(1, 4), D(-3, 3). Какой это четырехугольник? Ответ. Параллелограмм.

Упражнение 17 Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, -1), B(2, -1), C(1, 2), D(-1, 2). Какой это четырехугольник? Ответ. Трапеция.

Упражнение 18 Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (1, 0), (2, 1), (1, 3), (2, 4), (1, 4,5), (1, 6), (1,5, 5,5), (2,5, 5,5), (3, 6), (3, 4,5), (2, 4), (3, 3), (4,5, 2,5), (4,5, 0), (5, 2,5), (5, 0). Очертания какого животного она напоминает? Ответ. Кошка.

Упражнение 19 Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (4, 0), (3, 1,5), (1, 2), (-1, 2), (-4, 0,5), (-6, 2), (- 5,5, 0), (-6, -2), (-4, -0,5), (-1, -2), (1, -2), (3, -1,5), (4, 0). Очертания кого она напоминает? Ответ. Рыба.

Упражнение 20 Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (-5, 1), (-6, 0,5), (-7, 1), (-4,5, 2,5), (-3,5, 2,5), (-4,5, 1), (5,5, 1), (5,5, - 0,5), (4,5, -1,5), (4,5, -1), (5, -0,5), (5, 0,5), (4, 0,5), (4,5, 0), (3,5, -2), (3, -2), (3, -1), (2, -0,5), (-2, -0,5), (-3,5, -1), (-4,5, -2), (-5,5, -2), (-5, - 1), (-4,5, -1), (-4,5, 2), (-5, 1), (-5,5, -1), (-5, -1). Очертания какой породы собаки она напоминает? Ответ. Такса.

Упражнение 21 Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (0, 0), (-1, 1), (-3, 1), (- 2, 3), (-3, 3), (-4, 6), (0, 8), (2, 5), (2, 11), (6, 10), (3, 9), (4, 5), (3, 0), (2, 0), (1, -7), (3, -8), (0, -8), (0, 0). Очертания какой птицы она напоминает? Ответ. Страус.

Упражнение 22 Найдите координаты точки, симметричной точке A(x, y) относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат. Ответ: а) (x, –y);б) (–x, y);в) (–x, –y).

Упражнение 23 Точки N(…, 6) и N 1 (2, …) симметричны относительно оси ординат. Назовите пропущенные координаты этих точек. Ответ: N(–2, 6); N 1 (2, 6).

Упражнение 24 Найдите координаты точки, полученной поворотом точки A вокруг начала координат на угол 90 о против часовой стрелки, если точка A имеет координаты: а) (2, 1); б) (-1, 3); в) (-2, -3); г) (1, -3). Ответ: а) (–1, 2); б) (–3, –1); в) (3, –2); г) (3, 1).

Упражнение 25 Найдите координаты точки, полученной поворотом точки A(1, 0) вокруг начала координат против часовой стрелки на угол: а) 30 о ; б) 45 о ; в) 60 о. Ответ: а) ; б) ;в).

Упражнение 26 Ответ: а) Прямая, параллельная оси ординат; Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых: а) x = 2; б) y = -1; в) |x| = 3; г) |y| 1; д) x = y; е) x = -y. б) прямая, параллельная оси абсцисс; в) две прямые, параллельные оси ординат; г) две полуплоскости; д) прямая; е) прямая.

Упражнение 27 Найдите расстояние от начала координат до точки с координатами: а) (1, 1); б) (-3, 4); в) (-1, -2). Ответ: а) ;б) 5;в).