Замечательные точки треугольника К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения биссектрис – центр вписанной окружности; б) точка пересечения серединных перпендикуляров сторон – центр вписанной окружности; в) точка пересечения высот или их продолжений – ортоцентр; г) точка пересечения медиан – центроид.

Теорема 1 Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Доказательство. Через вершины треугольника АВС проведем прямые, параллельные противоположным сторонам. Эти прямые образуют новый треугольник DEF, для которого А, В, и С служат серединами сторон. В самом деле, СЕ = АВ и АВ = СD как противоположные стороны параллелограммов АЕСВ и АСDB. Следовательно, ЕС = СD. Точно так же FB = BD, FA = AE. Отсюда следует, что высоты треугольника АВС лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника DEF. Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то и высоты треугольника ABC или их продолжения пересекаются в одной точке.

Замечание Заметим, что высоты треугольника могут не пересекаться. На рисунке изображен тупоугольный треугольник ABC, в котором продолжения высот AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке H, а сами высоты не пересекаются.

Теорема 2 Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин. Доказательство. В треугольнике АВС проведем медианы АD и ВЕ. Пусть O - их точка пересечения. Отрезок ED будет средней линией треугольника АВС. Проведем среднюю линию HG в треугольнике АВО. Треугольники HGO и EDO равны (по второму признаку равенства треугольников). Следовательно, HO = OE и GO = OD. Таким образом, имеем AG = GO = OD, BH = HO = OE, т.е. медианы АD и BE в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины. Медиана, проведенная из вершины С, также должна делить медиану АD в отношении 2:1. Следовательно, она будет проходить через точку О, т.е. все три медианы будут пересекаться в одной точке.

Вопрос 1 Какие точки относятся к числу замечательных точек в треугольнике? Ответ: К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения биссектрис; б) точка пересечения серединных перпендикуляров сторон; в) точка пересечения высот или их продолжений; г) точка пересечения медиан.

Вопрос 2 Всегда ли высоты треугольника пересекаются? Ответ: Нет. Высоты тупоугольного треугольника не пересекаются.

Вопрос 3 Как называется точка пересечения высот? Ответ: Ортоцентр.

Вопрос 4 Как называется точка пересечения медиан? Ответ: Центроид.

Вопрос 5 В каком отношении делятся медианы треугольника точкой их пересечения? Ответ: 2:1, считая от вершин.

Упражнение 1 Постройте точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

Упражнение 2 Постройте точку пересечения медиан треугольника ABC.

Упражнение 3 Постройте точку пересечения медиан треугольника ABC.

Упражнение 4 Постройте точку пересечения высот треугольника ABC.

Упражнение 5 Постройте точку пересечения прямых, на которых лежат высоты треугольника ABC.

Упражнение 6 Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC.

Упражнение 7 Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC.

Упражнение 8 Может ли точка пересечения биссектрис треугольника находиться вне этого треугольника? Ответ: Нет.

Упражнение 9 Может ли точка пересечения медиан треугольника находиться вне этого треугольника? Ответ: Нет.

Упражнение 10 Может ли точка пересечения высот или их продолжений находиться вне этого треугольника? Ответ: Да, у тупоугольного треугольника.

Упражнение 11 Ответ: Да, у прямоугольного треугольника. Может ли вершина треугольника быть точкой пересечения его высот?

Упражнение 12 Где находится точка пересечения серединных перпендикуляров для: а) прямоугольного треугольника; б) остроугольного треугольника; в) тупоугольного треугольника? Ответ: а) В середине гипотенузы; б) внутри треугольника; в) вне треугольника.

Упражнение 13 Может ли одна биссектриса треугольника проходить через середину другой? Решение: Предположим, что биссектриса AA 1 проходит через середину O биссектрисы BB 1. Тогда AO является медианой, следовательно, высотой треугольника ABB 1. В прямоугольном треугольнике ABO сумма углов A и B равна 90 о. Следовательно, в треугольнике ABC сумма углов A и B равна 180 о, что невозможно. Таким образом, одна биссектриса треугольника не может проходить через середину другой.

Упражнение 14 К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности? Ответ: К большей стороне.

Упражнение 15 К какой из сторон треугольника ближе расположен ортоцентр? Ответ: Ортоцентр треугольника расположен ближе к меньшей стороне.

Упражнение 16 К какой из вершин треугольника ближе расположен центр вписанной окружности? Ответ: К вершине, лежащей против большей стороны.

Упражнение 17 Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 10 о и 100 о. Найдите углы ВОС и СОА, где О - центр описанной окружности. Ответ: 140 о, 20 о.

Упражнение 18 Биссектрисы АА 1 иВВ 1 треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите углы АСО и ВСО, если AOB = 136 о. Ответ: 46 о и 46 о.

Упражнение 19 Биссектрисы АА 1 иВВ 1 треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол АOB, если ACB = 50 о. Ответ: 115 о.

Упражнение 20 Углы треугольника АВС равны соответственно 40 о, 60 о и 80 о. Найдите угол между высотами АA 1 и BB 1. Ответ: 80 о.

Упражнение 21 Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Доказательство. следует из того, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Упражнение 22 Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный. Доказательство. В этом случае основание M медианы равноудалено от вершин треугольника и, следовательно, является центром описанной окружности. Угол C опирается на диаметр AB, следовательно, равен 90 о.

Упражнение 23 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 2.

Упражнение 24 Ответ: 2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

Упражнение 25 Ответ: 9. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.

Упражнение 26 Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 3 и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите меньший катет треугольника. Ответ: 3.

Упражнение 27 Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан этого треугольника на ту же прямую? Ответ: 1 см, 7 см и 8 см.

Упражнение 28 Основания трапеции равны 20 и 8, углы при большем основании равны 40 о и 50 о. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований. Ответ: 6.

Упражнение 29 Докажите, что если AA 1, BB 1 – высоты треугольника ABC, то угол A 1 AC равен углу B 1 BC. Доказательство. Прямоугольные треугольники A 1 AC и B 1 BC имеют общий острый угол C. Следовательно, равны и два других их острых угла A 1 AC и B 1 BC.

Упражнение 30 Докажите, что если AA 1, BB 1 – высоты треугольника ABC, то угол B 1 A 1 C равен углу BAC. Доказательство. Рассмотрим окружность с диаметром AB. Угол B 1 A 1 C равен 90 о минус угол B 1 A 1 A. Углы B 1 A 1 A и B 1 BA равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Угол BAC равен 90 о минус угол B 1 BA. Следовательно, равны углы B 1 A 1 C и BAC.

Упражнение 31 Докажите, что если AA 1, BB 1, CC 1 – высоты треугольника ABC, то угол A 1 C 1 C равен углу B 1 C 1 C. Доказательство. На сторонах треугольника ABC, как на диаметрах, опишем окружности. Они пройдут через точки A 1, B 1, C 1. Угол A 1 C 1 C равен углу A 1 AC как углы, опирающиеся на одну дугу A 1 C. Угол A 1 AC равен углу B 1 BC. Угол B 1 BC равен углу B 1 C 1 C, как углы, опирающиеся на одну дугу B 1 C. Следовательно, угол A 1 C 1 C равен углу B 1 C 1 C.

Упражнение 32 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1, BC = 24, B 1 C 1 = 12, O – центр вписанной окружности. Найдите угол BOC. Решение. Рассмотрим окружность с диаметром BC, P – ее центр. Она пройдет через точки B 1 и C 1. Треугольник PB 1 C 1 равносторонний, следовательно, угол B 1 PC 1 равен 60 о. Углы B 1 BC 1 и B 1 BC 1 опираются на дугу B 1 C 1, следовательно, равны 30 о. Угол A треугольника ABC равен 60 о. Следовательно, угол BOC равен 120 о.

Окружность Эйлера Пусть в треугольнике ABC точки A 1, B 1, C 1 обозначают середины сторон противоположных соответствующим вершинам; H – точка пересечения высот треугольника; A 2, B 2, C 2 – основания высот, опущенных из соответствующих вершин; A 3, B 3, C 3 – середины отрезков AH, BH и CH. Докажите, что точки A 1, B 1, C 1, A 2, B 2, C 2, A 3, B 3, C 3 принадлежат одной окружности, называемой окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера. Решение дано на следующем слайде.

Решение Проведем окружность через точки C 1, C 2, C 3. Отрезок C 1 C 3 будет ее диаметром. Так как A 1 C 1 – средняя линия треугольника ABC, то A 1 C 1 || AC. Так как A 1 C 3 – средняя линия треугольника BCH, то A 1 C 3 || BH. Значит, и, следовательно, точка A 1 принадлежит этой окружности. Аналогично, Так как A 3 C 3 – средняя линия треугольника AHC, то A 3 C 3 || AC. Так как C 1 A 3 – средняя линия треугольника ABH, то C 1 A 3 || BH. Значит, и, следовательно, точка A 3 принадлежит этой окружности. A 1 C 1 A 3 C 3 – прямоугольник и, значит, A 1 A 3 – диаметр окружности. Так как, то A 2 принадлежит окружности. Таким образом, мы доказали, что этой окружности принадлежат точки A 1, A 2, A 3. Аналогично доказывается, что этой окружности принадлежат точки B 1, B 2, B 3.

Окружность Эйлера 2 Изобразите окружность Эйлера для треугольника ABC. Найдите ее радиус. Ответ. 2,5.

Окружность Эйлера 3 Изобразите окружность Эйлера для треугольника ABC. Ответ.

Точка Торричелли Точкой Торричелли треугольника ABC называется такая точка O, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120 о, т.е. углы AOB, AOC и BOC равны 120 о. Докажите, что в случае, если все углы треугольника меньше 120 о, точка Торричелли существует. Решение дано на следующем слайде.

Решение Аналогично, на стороне BC треугольника ABC построим равносторонний треугольник ABC, и опишем около него окружность. Из точек соответствующей дуги, отличных B и C, отрезок BC виден под углом 120 о. В случае, когда углы треугольника меньше 120 о, эти дуги пересекаются в некоторой внутренней точке O, из которой стороны треугольника ABC видны под углом 120 о. На стороне AB треугольника ABC построим равносторонний треугольник ABC', и опишем около него окружность. Отрезок AB стягивает дугу этой окружности величиной 120 о. Следовательно, из точек этой дуги, отличных от A и B, отрезок AB виден под углом 120 о.

Упражнение 35 На сторонах треугольника ABC, углы которого меньше 120 о, во внешнюю сторону от него построили равносторонние треугольники. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины исходного треугольника и противоположные им вершины равносторонних треугольников, пересекаются в одной точке. Решение. Докажем, что искомой точкой пересечения является точка Торричелли O. Угол AOB равен 120 о. Угол BOA равен 60 о. Следовательно, точка O принадлежит отрезку AA. Аналогично доказывается, что точка O принадлежит отрезкам BB и CC.

Упражнение 36 На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону от него построили равносторонние треугольники. Докажите, что центры окружностей, описанных около этих треугольников, являются вершинами равностороннего треугольника. Решение. Угол BA 1 C равен 120 о. Прямые A 1 B 1 и A 1 C 1 содержат биссектрисы углов OA 1 C и OA 1 B соответственно. Следовательно, угол A 1 треугольника A 1 B 1 C 1 равен 60 о. Аналогично доказывается, что углы B 1 и C 1 этого треугольника равны 60 о. Значит, треугольник A 1 B 1 C 1 равносторонний.