Признак равнобедренного треугольника Теорема. (Признак равнобедренного треугольника.) Если в треуголь­нике два угла равны, то он равнобедренный. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС угол А равен углу В. Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников, примененным к треугольнику АВС и треугольнику ВАС, т.е. к тому же са­мому треугольнику, вершины в котором записаны в другом порядке. Имеем, сторона АВ равна стороне ВА, A = B, B = A. Следовательно, АС = ВС, т.е. треугольник АВС - равнобедренный.

Свойства равнобедренного треугольника Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой. Доказательство. Пусть ABC – равнобедренный треугольник, AC = BC, CD – биссектриса. Тогда треугольник ACD равен треугольнику BCD по первому признаку равенства треугольников (АС = ВС, СD – общая сторона, ACD = BCD). Следовательно, имеют место равенства: AD = BD, уголADC равен углу BDC. Первое из этих равенств означает, что CD является медианой данного треугольника, второе – что CD является его высотой.

Упражнение 1 В треугольнике CDE угол 1 равен углу 2. Верно ли утверждение о том, что это равнобедренный треугольник? Ответ: Да.

Упражнение 2 Ответ: а), б), в) Да. В треугольнике FGH угол 1 равен углу 2 и равен углу 3. Верно ли утверждение о том, что это треугольник: а) равнобедренный; б) равносторонний; в) правильный?

Упражнение 3 Доказательство: Пусть в треугольнике ABC биссектриса CD является высотой. Тогда треугольники ACD и BCD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AC = BC, т.е. треугольник ABC равнобедренный. Докажите, что если биссектриса треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

Упражнение 4 Доказательство: Пусть в треугольнике ABC медиана CD является высотой. Тогда треугольники ACD и BCD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = BC, т.е. треугольник ABC равнобедренный. Докажите, что если медиана треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

На рисунке CD = BD, угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол ACB равен углу ABC. Решение. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AD – общая сторона, BD = CD, угол ADB равен углу ADC). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и AC этих треугольников. Треугольник ABC равнобедренный и, значит, угол ACB равен углу ABC. Упражнение 5

На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 5 равен углу 6. Докажите, что угол 3 равен углу 4. Решение. Треугольники ABС и ABD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, угол ABC равен углу ABD, угол BAC равен углу BAD). Следовательно, равны соответствующие стороны BC и BD этих треугольников. Треугольник BCD равнобедренный и, значит, угол 3 равен углу 4. Упражнение 6

На рисунке DC = BC и угол B равен углу D. Докажите, что АВ = AD Решение. Проведем отрезок BD. Треугольник BCD равнобедренный (BC = DC). Следовательно, имеет место равенство углов DBC и BDC. Из этого равенства и равенства углов ABC и ADC следует равенство углов ABD и ADB. Значит, треугольник ABD – равнобедренный и, следовательно, АВ = AD. Упражнение 7

На рисунке AB = BC, угол 1 равен углу 2. Докажите, что AD = CD. Решение. Проведем отрезок AC. Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Следовательно, угол BAC равен углу BCA. Из этого равенства и равенства углов 1 и 2 следует равенство углов DAC и DCA. Значит, треугольник DAC равнобедренный и, следовательно, AD = CD. Упражнение 8

Упражнение 9 Решение. Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AB = BC), AN и CM – медианы. Тогда AM = CN и треугольники ACM и CAN равны по первому признаку. Следовательно, AN = CM. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Упражнение 10 Ответ: 15 м. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника АВD - 40 м.