Определение. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Две плоскости Имеют общие точки (пересекаются по прямой) Не имеют общих точек (параллельны) Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Признак параллельности двух прямых Доказательство. Пусть плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым a и b соответственно. Докажем, что прямые a и b параллельны. Действительно, они лежат в одной плоскости - плоскости γ. Кроме этого, они лежат в непересекающихся плоскостях, следовательно, и подавно, не пересекаются. Значит, они параллельны.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Признак параллельности двух плоскостей Доказательство. Пусть две пересекающиеся прямые a 1, a 2 плоскости α соответственно параллельны двум прямым b 1, b 2 плоскости β. Докажем, что плоскости α и β параллельны. Предположим противное, т.е., что плоскости α и β пересекаются, и пусть c - линия их пересечения. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая a 1 параллельна плоскости β, а по свойству параллельности прямой и плоскости, она параллельна прямой c. Аналогично, прямая a 2 также параллельна прямой c. Таким образом, в плоскости α мы имеем две пересекающиеся прямые, параллельные одной прямой, что невозможно. Следовательно, плоскости α и β параллельны.

Ответ: Нет. Верно ли утверждение: "Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны"? Упражнение 1

Ответ: Нет. Верно ли утверждение: "Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны? Упражнение 2

Ответ: Да. Могут ли быть параллельными две плоскости, проходящие через непараллельные прямые? Упражнение 3

Ответ: Да. Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой? Упражнение 4

Ответ: Нет. Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Можно ли утверждать, что эти плоскости параллельны? Упражнение 5

Ответ: Да. Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой? Упражнение 6

Ответ: Да. Могут ли быть параллельными две плоскости, проходящие через непараллельные прямые? Упражнение 7

Ответ: а) Нет; Можно ли признак параллельности двух плоскостей сформулировать следующим образом: а) если прямая одной плоскости параллельна прямой другой плоскости, то плоскости параллельны; б) если две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны; в) если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то плоскости параллельны? Упражнение 8 б) Нет; в) да.

Доказательство: Прямые AB и AD, лежащие в плоскости ABC, соответственно параллельны прямым A 1 B 1 и A 1 D 1, лежащим в плоскости A 1 B 1 C 1. Следовательно, плоскости ABC и A 1 B 1 C 1 параллельны. Для параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 докажите параллельность плоскостей ABC и A 1 B 1 C 1. Упражнение 9

Доказательство: Прямые AB 1 и AD 1, лежащие в плоскости AB 1 D 1, соответственно параллельны прямым DC 1 и BC 1, лежащим в плоскости BDC 1. Следовательно, плоскости AB 1 D 1 и BDC 1 параллельны. Для параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 докажите параллельность плоскостей AB 1 D 1 и BDC 1. Упражнение 10

Сколько имеется пар параллельных плоскостей, содержащих грани параллелепипеда A…D 1. Решение: Каждая грань участвует в одной паре параллельных плоскостей. У куба имеется 6 граней. Следовательно, искомое число пар параллельных граней равно Упражнение 11

а) ABB 1 и CDD 1 ; б) ABB 1 и DEE 1 ; в) ABB 1 и CEE 1 ; г) ABB 1 и CFF 1 ; д) ABB 1 и CFE 1, Ответ: а) Нет;б) да;в) нет;г) да;д) нет. Являются ли параллельными плоскости: Упражнение 12 проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ?

Доказательство: Прямые AB и AA 1, лежащие в плоскости ABB 1, соответственно параллельны прямым DE 1 и EE 1, лежащим в плоскости DEE 1. Следовательно, плоскости ABB 1 и DEE 1 параллельны. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 плоскости ABB 1 и DEE 1 параллельны. Упражнение 13

Доказательство: Прямые AB 1 и AF 1, лежащие в плоскости AB 1 F 1, соответственно параллельны прямым ED 1 и CD 1, лежащим в плоскости CED 1. Следовательно, плоскости AB 1 F 1 и CED 1 параллельны. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 плоскости AB 1 F 1 и CED 1 параллельны. Упражнение 14

Доказательство: Прямые AC 1 и AE 1, лежащие в плоскости AC 1 E 1, соответственно параллельны прямым FD 1 и BD 1, лежащим в плоскости BFD 1. Следовательно, плоскости AC 1 E 1 и BFD 1 параллельны. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 плоскости AC 1 E 1 и BFD 1 параллельны. Упражнение 15

Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные плоскости ABC. Ответ. A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2. Упражнение 16

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ABC и A 1 B 1 C 1 параллельны. Доказательство: Прямые AB и BC, лежащие в плоскости ABC, соответственно параллельны прямым A 1 B 1 и B 1 C 1, лежащим в плоскости A 1 B 1 C 1. Следовательно, плоскости ABC и A 1 B 1 C 1 параллельны. Упражнение 17

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ADD 2 и A 1 D 1 C 2 параллельны. Доказательство: Прямые AA 2 и A 2 C 2, лежащие в плоскости ADD 2, соответственно параллельны прямым A 1 B 2 и B 2 C 2, лежащим в плоскости A 1 D 1 C 2. Следовательно, плоскости ADD 2 и A 1 D 1 C 2 параллельны. Упражнение 18

Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные плоскости ADD 1. Ответ. BCC 1, B 2 C 2 C 3, A 2 D 2 D 3. Упражнение 19

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ADD 1 и BCC 1 параллельны. Доказательство: Прямые AD и AA 1, лежащие в плоскости ADD 1, соответственно параллельны прямым BC и BB 1, лежащим в плоскости BCC 1. Следовательно, плоскости ADD 1 и BCC 1 параллельны. Упражнение 20

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ADD 1 и B 2 C 2 C 3 параллельны. Доказательство: Прямые AD и AA 1, лежащие в плоскости ADD 1, соответственно параллельны прямым B 2 C 2 и B 2 B 3, лежащим в плоскости B 2 C 2 C 3. Следовательно, плоскости ADD 1 и B 2 C 2 C 3 параллельны. Упражнение 21

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ABC и A 3 B 3 C 3 параллельны. Доказательство: Прямые AB и BC, лежащие в плоскости ABC, соответственно параллельны прямым A 3 B 3 и B 3 C 3, лежащим в плоскости A 3 B 3 C 3. Следовательно, плоскости ABC и A 3 B 3 C 3 параллельны. Упражнение 22

Сколько имеется пар параллельных плоскостей, содержащих грани октаэдра. Решение: Для каждой грани имеется только одна грань, ей параллельная. У октаэдра 8 граней. Следовательно, искомое число пар параллельных граней равно Упражнение 23

Сколько имеется пар параллельных плоскостей, содержащих грани икосаэдра. Решение: Для каждой грани имеется только одна грань, ей параллельная. У икосаэдра 20 граней. Следовательно, искомое число пар параллельных граней равно Упражнение 24

Сколько имеется пар параллельных плоскостей, содержащих грани додекаэдра. Решение: Для каждой грани имеется только одна грань, ей параллельная. У додекаэдра 12 граней. Следовательно, искомое число пар параллельных граней равно Упражнение 25