Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых Для отношения параллельности прямых в пространстве имеет место следующее свойство транзитивности: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Ответ: Нет. Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве параллельны? Упражнение 1

Ответ: Одну. Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые? Упражнение 2

Ответ: Нет. Известно, что в плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую. Будет ли это утверждение верно для пространства? Упражнение 3

Ответ: Плоскость. Найдите геометрическое место (ГМ) прямых, пересекающих две данные параллельные прямые. Упражнение 4

Ответ: A 1 B 1 ; CD; C 1 D 1. Назовите прямые, проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и параллельные прямой AB. Упражнение 5

Доказательство: Прямые AB и C 1 D 1 параллельны прямой CD, так как грани ABCD и CDD 1 C 1 – параллелограммы. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 D 1 параллельны. Докажите, что прямые AB и C 1 D 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, параллельны. Упражнение 6

Доказательство: Прямые AA 1 и C 1 C 1 параллельны прямой BB 1. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 1 и C 1 C 1 параллельны. Докажите, что прямые AA 1 и C 1 C 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, параллельны. Упражнение 7

Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны (упражнение 7). Следовательно, четырехугольник ACC 1 A 1 – параллелограмм (противоположные стороны AA 1 и CC 1 равны и параллельны). Значит, прямые AC и A 1 C 1 параллельны. Докажите, что прямые AC и A 1 C 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, параллельны. Упражнение 8

Доказательство: Прямые AB и C 1 D 1 параллельны (упражнение 6). Следовательно, четырехугольник ABC 1 D 1 – параллелограмм (противоположные стороны AB и C 1 D 1 равны и параллельны). Значит, прямые AD 1 и BC 1 параллельны. Докажите, что прямые AD 1 и BC 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, параллельны. Упражнение 9

Ответ: Нет. Являются ли параллельными прямые AB и CC 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ? Упражнение 10

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ? Решение: Каждое ребро участвует в трех парах параллельных прямых. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 11

Являются ли параллельными прямые AB и CD, проходящие через вершины тетраэдра ABCD? Ответ: Нет. Упражнение 12

Ответ: BB 1, CC 1. Упражнение 13 Назовите прямые, проходящие через вершины треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллельные прямой AA 1.

Решение: Каждое ребро оснований участвует в одной паре параллельных прямых. Каждое боковое ребро участвует в двух парах параллельных прямых. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Ответ: Упражнение 14 Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы?

Ответ: BB 1 ; CC 1 ; DD 1 ; EE 1 ; FF 1. Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AA 1. Упражнение 15

Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны прямой BB 1, так как грани ABB 1 A 1 и BCC 1 B 1 – параллелограммы. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 1 и CC 1 параллельны. Докажите, что прямые AA 1 и CC 1, проходящие через вершины шестиугольной призмы, параллельны. Упражнение 16

Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны (задача 14). Прямые CC 1 и DD 1 параллельны, так как грань СDD 1 C 1 – параллелограмм. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 1 и DD 1 параллельны. Докажите, что прямые AA 1 и DD 1, проходящие через вершины шестиугольной призмы, параллельны. Упражнение 17

Ответ: A 1 B 1 ; DE; D 1 E 1 ; CF; C 1 F 1. Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AB. Упражнение 18

Доказательство: Прямые AB и DE параллельны, так как грань ABCDEF – правильный шестиугольник. Прямые D 1 E 1 и DE параллельны, так как грань DEE 1 D 1 – прямоугольник. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и D 1 E 1 параллельны. Докажите, что прямые AB и D 1 E 1, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны. Упражнение 19

Доказательство: Прямые AB и A 1 B 1 параллельны, так как грань ABB 1 A 1 – прямоугольник. Прямые C 1 F 1 и A 1 B 1 параллельны, так как грань A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 – правильный шестиугольник. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 F 1 параллельны. Докажите, что прямые AB и C 1 F 1, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны. Упражнение 20

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы? Ответ: Решение: Каждое ребро оснований участвует в трех парах параллельных прямых. Каждое боковое ребро участвует в пяти парах параллельных прямых. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 21*

Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные прямой AA 2. Ответ. BB 1, CC 1, DD 2, A 1 B 2, D 1 C 2. Упражнение 22

Докажите, что прямые AA 2 и CC 1, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AA 2 и CC 1 параллельны прямой BB 1. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 2 и CC 1 параллельны. Упражнение 23

Докажите, что прямые AA 2 и D 1 C 2, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AA 2 и D 1 C 2 параллельны прямой DD 2. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 2 и D 1 C 2 параллельны. Упражнение 24

Докажите, что прямые AD и B 1 C 1, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AD и B 1 C 1 параллельны прямой BC. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AD и B 1 C 1 параллельны. Упражнение 25

Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные прямой AB. Ответ. DC, A 1 A 2, B 1 B 2, D 1 D 2, C 1 C 2, A 3 B 3, C 3 D 3. Упражнение 26

Докажите, что прямые AB и C 1 C 2, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AB и C 1 C 2 параллельны прямой CD. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 C 2 параллельны. Упражнение 27

Докажите, что прямые AB и C 3 D 3, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AB и C 3 D 3 параллельны прямой CD. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 3 D 3 параллельны. Упражнение 28

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра октаэдра? Решение: Для каждого ребра имеется только одно ребро, ему параллельное. У октаэдра 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 29*

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра икосаэдра? Решение: Для каждого ребра имеется только одно ребро, ему параллельное. У икосаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 30*

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра додекаэдра? Решение: Для каждого ребра имеется только одно ребро, ему параллельное. У додекаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 31*

В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости? Упражнение 32* Ответ: