Натуральные числа. Целые числа Определение натуральных чисел Множество натуральных чисел Сумма и произведение натуральных чисел 1 2 2

Натуральные числа. Целые числа 2 Вычитание и деление натуральных чисел Множество целых чисел ч.1 Множество целых чисел ч

Определение натуральных чисел Числа 1, 2, 3, 4, 5…, употребляемые при счёте называют натуральными числами. далее

Определение натуральных чисел Каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы, т.е. за каждым натуральным числом n следует число n+1. Каждое натуральное число отличное от 1, следует за натуральным числом, которое получается из него вычитанием единицы, т.е. натуральное число n, где т=1, следует за числом n-1. назад

Множество натуральных чисел Множество натуральных чисел обычно обозначают, как вы знаете буквой N (от первой буквы латинского слова naturalis – естественный, природный). далее

Множество натуральных чисел Множество N бесконечное, в нём есть наименьший элемент – число 1, но нет наибольшего элемента. назад

Сумма и произведение натуральных чисел Сумма и произведение натуральных чисел всегда являются натуральными числами, т.е. на множестве натуральных чисел всегда выполнимы действия сложения и умножения, а именно: если а Е N и Ь Е N, то а + Ь Е N и аЬ Е N. назад

Вычитание и деление натуральных чисел Иначе обстоит дело с вычитанием и делением. На множестве натуральных чисел эти действия в ряде случаев невыполнимы. Другими словами, уравнения а + х = Ь и ах = Ь, где а Е N, Ь Е N, на множестве натуральных чисел не всегда имеют решения. Например, имея в запасе только натуральные числа, нельзя решить уравнения 8 + х = 3, 5 х = 16. далее

Вычитание и деление натуральных чисел Для того чтобы вычитание натуральных чисел было выпол­нимо во всех случаях, множество натуральных чисел дополня­ ют числом О и числами, противоположными натуральным, ко­ торые обозначаются так: -1, -2, -3 и т. д. Натуральные числа, противоположные им числа и число О составляют множество целых чисел:... -3, -2, -1, О, 1,2,3,.... содержание

Множество целых чисел Множество целых чисел, как известно, принято обозначать буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl- число). Множество Z также является бесконечным, в нем нет ни наименьшего элемента, ни наибольшего. В множестве Z всегда выполнимы действия сложения, вычитания и умножения. В результате выполнения любого из этих действий над целыми числами получается целое число, т. е. если а Е Z и Ь Е Z, то а + Ь Е Z, а - Ь Е Z и аЬ Е Z. далее

Множество целых чисел Однако деление по-прежнему и на множестве Z выполнимо не во всех случаях, т. е. уравнение ах = Ь, где а Е Z и Ь Е Z, не всегда разрешимо в целых числах. Так, например, на множе­стве целых чисел не имеет корней уравнение 3 х = -11. содержание

Множество целых чисел Заметим, что если для любых двух элементов множества К определена не которая операция (например, сложение) и результат выполнения этой операции также принадлежит множеству К, то говорят, что множество К замкнуто относительно этой операции. Так, например, множество N натуральных чисел замкнуто относительно таких операций, как сложение и умножение, а множество Z целых чисел замкнуто относительно трех операций - сложения, вычитания и умножения. далее

Множество целых чисел Множество N натуральных чисел является собственным под­множеством множества Z целых чисел. Покажем, что между множествами Z и N можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого будем выписывать целые числа, распо­лагая их следующим образом: на первом месте запишем число О, а далее будем брать в порядке возрастания натуральные числа и за каждым натуральным числом будем записывать противопо­ложное ему целое число. Получим: О, 1, -1, 2, -2, 3, -3,... n, -n,..., где n Е N. далее

Множество целых чисел Поставим числу 0 в соответствие число 1, числу 1 - число 2, числу -1 - число 3, числу 2 - число 4 и т. д. Вообще каждому натуральному числу n поставим в соответствие число 2n, а противоположному ему целому отрицательному числу -n поставим в соответствие число 2n+1. далее

Множество целых чисел Тем самым каждому целому числу мы поставим в соответствие единственное натуральное число. При этом каждое натуральное число окажется соответствующим вполне определенному целому числу. Установленное соответствие показано с помощью схемы: далее

Множество целых чисел Таким образом, мы убедились, что между множеством Z целых чисел и множеством N натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие. Если между множеством М и множеством натуральных чисел N можно установить взаимно однозначное соответствие, то множество М называют счетным. Таким образом, мы доказали, что множество целых чисел Z является счетным. В предыдущем пункте было показано, что счетным является множество Р четных натуральных чисел. содержание