Площадь

Площадь квадрата Площадь квадрата Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма Площадь треугольника Площадь треугольника Площадь трапеции Площадь трапеции

аа 2 Докажем, что площадь квадрата со стороной а равна а 2. a Доказательство

Начнем с того случая, когда где n - целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n равных квадратов так, как показано на рисунке, а ( на этом рисунке n = 5). Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна. Сторона каждого маленького квадрата а. равна, т. е. равна а. Итак, а

Площадь прямоугольника равна произведения его смежных сторон. Теорема Доказательство Д о к а з а т е л ь с т в о a b

a, b S=ab. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S. Докажем, что S=ab. Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b, как показано на рисунке. По свойству 3 площадь этого квадрата равна (a+b) 2. С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S ( свойство 1 площадей ) и двух квадратов с площадями a 2 и b 2 ( свойство 3 площадей )3( свойство 1 площадей ) ( свойство 3 площадей )

Равные многоугольники имеют равные площади.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на ввысоту. S=AD*BH C D A B H Теорема Доказательство

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоты BH и CK. Докажем, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника HBCK и ABH. Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углу, поэтому их площади равны. / Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCD также равны, т. е. площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH, а так как BC=AD, то S=AD*BH. AB C D KH

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на ввысоту. Теорема Доказательство

Пусть S - площадь треугольника ABC. Примем сторону AB за основание треугольника и проведем ввысоту SH. Докажем, что Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC- их общая сторона,AB=CD и AC=BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD, т. е.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на ввысоту. Площадь трапеции р авна произведению полусуммы е ё о снований н а в высоту. Теорема Доказательство

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S. Докажем, что Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=S ABD +S BCD. Примем отрезки AD и BH за основание и ввысоту треугольника ABD, а отрезки BH и DH за основание и ввысоту треугольника BCD.

Тогда : Так как то. Таким образом,