Выполнили: ученики 10 а класса Чигадаев Игорь Кельбина Ирина Звездчатые многогранники Тела Кеплера – Пуансо.

Введение С многогранниками мы постоянно встречаемся в жизни – это древние египетские пирамиды и кубики, которыми играют дети, объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы, вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп и т.д. Более подробно мы остановимся на правильных, полуправильных и звездчатых многогранниках, которые с древних привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников, их поражала красота, гармония и совершенство этих многогранников.

Многогранники из-за необычных форм и свойств симметрии исследуются с древнейших времен. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Звездчатые многогранники. Тела Кеплера – Пуансо. К роме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер. Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя Пуансо (французский математик). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называют Телами Кеплера – Пуансо.

Иоганн Кеплер (1571 – 1630 гг.) Немецкий астроном и математик. В 1619 году описал два звездчатых многогранника: большой звездчатый додекаэдр и малый звездчатый додекаэдр. Занимался теорией полуправильных выпуклых многогранников.

-Звёздчатый октаэдр -Додекаэдр -Икосаэдр -Икосододекаэдр

Звездчатый октаэдр Он был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером и назван им (звезда восьмиугольная). У октаэдра есть только одна звёздчатая форма. Это правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины Её можно рассматривать на соединении двух тетраэдров. Этот многогранник открыл Кеплер в 1619 г. и дал ему имя stella octangula (лат.) восьмиугольная звезда.

Малый звездчатый додекаэдр Грани малого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у большого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются пять граней. Вершины малого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра. Малый звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром.

Большой додекаэдр При продолжении граней додекаэдра возникает 2 возможности. Если в качестве граней рассматривать правильные пятиугольники, то получится большой додекаэдр.

Большой звёздчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. Грани большого додекаэдра - пересекающиеся пятиугольники. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г. Большой звездчатый додекаэдр Если в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получится большой звездчатый додекаэдр.

Икосаэдр Икосаэдр имеет 20 граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.

Икосододекаэдр Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 правильные треугольники. Этот многогранник являет собой пример соединения двух Платоновых тел- додекаэдра и икосаэдра; его можно рассматривать как первую звёздчатую форму икосододекаэдра. С него начинается так называемая «основная линия»звёздчатых форм икосододекаэдра. Казалось бы, столь большое число граней потребует сложнейших исследований. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью Платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера Пуансо.

Звездчатые многогранники. Кроме правильных звездчатых многогранников существуют звездчатые многогранники, полученные из полуправильных многогранников, которые не менее красивы, оригинальны и гармоничны. В настоящее время известны 51 вид таких многогранников. Вот некоторые из них.

Звезда.

Квазиусеченный звездчатый додекаэдр.

Квазиусеченный гексаэдр.

Битригональный додекаэдр.

ГРАВЮРА ГОЛАНДСКОГО ХУДОЖНИКА МАУРИЦА КОРНЕЛИУСА ЭШЕРА « СИЛЫ ГРАВИТАЦИИ »