Подготовила Кельбина Ирина Ученица 11 а класса «В мире нет места для некрасивой математики». Г. Харди

Исторический очерк Многоугольные, или, как их часто называют, фигурные числа были известны еще в глубокой древности. Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. Большой интерес к фигурным числам проявляли индийские математики. В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие.

Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности Эратосфен Диофант Александрийский Пифагор

Многоугольные числа Как уже отмечалось, согласно пифагорейскому учению, в основе мира лежат числа (натуральные). При этом пифагорейцы понимали число не просто как набор единиц, а как некие структуры, которые можно изобразить, выкладывая камешками, в форме определенных фигур. Возможно, учение пифагорейцев было своеобразным вариантом атомизма*, а изображаемые фигуры указывали на способ комбинации элементов или атомов того или иного тела – таким образом, фраза «всё есть число» означала, что суть вещи, по пифагорейцам, заключалась не в самих составных частях, а в способе их комбинации. В этом смысле структурные числа пифагорейцев были аналогом структурных формул современной химии. Некоторые исследователи усматривают корни пифагорейского представления о фигурных числах в наблюдении созвездий, которые отличаются друг от друга именно формой, образуемой звездами. *Атомизм натурфилософская и физическая теория, согласно которой чувственно воспринимаемые (материальные) вещи состоят из неделимых частиц атомов

В 1670 году Пьер Ферма сформулировал так называемую "золотую теорему": Всякое натуральное число либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел; Всякое натуральное число либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел; Всякое натуральное число либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел. «Золотая теорема» Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году. Пьер Ферма

Такое представление наглядно демонстрирует важные свойства чисел той или иной формы. Именно от фигурных числе пошло выражение "Возвести число в квадрат или куб" Определение Фигу́рные чи́сла общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Различают следующие виды фигурных чисел: Линейные числа числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Плоские числа числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, т.е. составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … Телесные числа числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, … (телесное число 8) (плоское число 6) (линейное число 5)

Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …, Свойства: 1)Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число). 2)Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25,36, 49, 64, 81, 100, … K n =n 2

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …

Шестиугольные числа Шестиугольное число фигурное число. n-ое шестиугольное число число точек в шестиугольнике, на каждой стороне которого ровно n точек. Формула для n-ого шестиугольного числа: Первые шестиугольные числа: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946. Каждое шестиугольное число является треугольным числом, но только некоторые треугольные числа (первое, третье, пятое, седьмое и т. д.) являются шестиугольными. Как и для треугольных чисел, цифровой корень шестиугольного числа может быть равен только 1, 3, 6 или 9. Иными словами при делении шестиугольного числа на девять в остатке останется 0, 1, 3 или 6.

Общий случай Если подставить в этой формуле k = 3, 4, 5, получим соответственно формулы для Т n, К n, П n.

Связь между треугольными и квадратными числами Древнегреческий ученый Диофант нашел простую связь между треугольными числами Т и квадратными К: 8Т+1=К. Можно наглядно представить эту формулу Диофанта на примере числа 10. На рисунке изображены 81 клеточки, размещенные в квадрате. Они образуют квадратное число К. Одна клеточка занимает центр квадрата, а остальные 80 сгруппированы в 8 треугольных чисел Т в форме восьми "прямоугольных треугольников". Получается: 8Т+1=К.

Класс пирамидальных чисел Пифагорейцы рассматривали и пространственные фигурные числа например, кубы 1, 8, 27 и так далее, а также пирамидальные числа, равные сумме треугольных.

Класс кубических чисел

Священная Четверица Особенно почиталось у пифагорейцев число 10 = : 1 – единица, «матерь всех чисел», 2 выражает линию, 3 – треугольник, 4 – пирамиду Фактически, на минимальном из отрезков, изображающем линию, должно быть две точки, минимальное число точек, которые нужны для изображения плоской фигуры, – три, а минимальное число точек, которые нужны для изображения пространственной фигуры, – четыре. Кроме того, из чисел, меньших 10, столько же простых, сколько и составных. Поскольку 10, кроме того, само является треугольным числом со стороной, равной 4, число 4, как бы в зародыше содержащее 10, также считалось священным и именовалось «истоком и корнем высшей природы». Величайщей клятвой у пифагорейцев считалась клятва Четверицей.

Используемая литература и другие источники Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, с. Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей.. Изд.второе. М.: Просвещение, С Серпинский В. Н. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, с. Стиллвелл Д. Математика и ее история. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, глава 3.