Первообразная Урок 63 По данной теме урок 1 Классная работа

На уроке: Определение первообразной. Основное свойство первообразной. Умение проверять, является ли данная функция F первообразной для другой заданной функции f на данном промежутке.

Лейбниц Готфрид Вильгельм ( ) « Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли.» Лейбниц

Исаак Ньютон ( )

Немного истории Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, но и сумел найти максимум функции f(x)=x 2 (a-x). В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения, примененные к разным задачам, встречаются у Р. Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д. Грегори, в работе И. Барроу.

Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулировал и две основные проблемы анализа: «1. Длина проходимого пути постоянно дана; требуется найти скорость движения в предложенное время. 2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути.» Первая проблема задает программу развития дифференциального исчисления, так как скорость является производной пути. Вторая проблема – это задача, обратная первой, то есть по заданной скорости определить путь; относится к интегральному исчислению.

Необходимо найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t), то есть такую функцию s(t), что s (t) = v(t). Такую функцию s(t), что s (t) = v(t), называют ПЕРВООБРАЗНОЙ функции v(t). Процесс нахождения первообразной называется ИНТЕГРИРОВАНИЕМ. Определение: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F (x) = f(x). Например, функция х 5 является первообразной для функции 5 х 4, т. к. (х 5 ) =5 х 4 ; функция cosx – первообразная для функции –sinx, т. к. (cosx) =-sinx.

Задача 1 Задача 2

Самостоятельно 987(1)

Найдите (х 5 ) =, (х 5 +3) =, (х 5 -7,2) = Вообще, любая функция х 5 +С, где С – любая постоянная, является первообразной для функции 5 х 4. Это следует из того, что производная постоянной равна 0. Этот пример показывает, что первообразная определяется неоднозначно. Если F(x) – первообразная для f(x) на некотором промежутке, то и функция F(x)+C, где С – любая постоянная, также является первообразной для функции на этом промежутке. 5 х 4 Следовательно, для функции f(x)=5x 4 функции х 5, х 5 +3, х 5 -7,2 также являются первообразными, так как …

Функция f(x)Первообразная F(x) Замечание. Во всех формулах функция является первообразной для функции f(x) на таком промежутке, на котором обе функции F(x) и f(x) определены.

Домашнее задание Разобрать материал § 54 Выполнить в тетрадях: 983, 984, 985(1), на повторение 879

Найдите все первообразные функции: Найдите производную функции:

Спасибо за урок!