Возрастание и убывание функции Урок 45 По данной теме урок 1 Классная работа

Повторение 1. Какая функция называется возрастающей на промежутке? Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором промежутке Х, если для любых значений х 1 и х 2 из промежутка Х таких, что из х 2 > х 1 вытекает, что f(x 2 ) > f(x 1 ). 2. Какая функция называется убывающей на промежутке? Функция у = f(x) называется убывающей на некотором промежутке Х, если для любых значений х 1 и х 2 из промежутка Х таких, что из х 2 > х 1 вытекает, что f(x 2 ) < f(x 1 ).

Повторение х у 0 а b а) х у 0 аb б) х у 0 аb в) х у 0 аb г) Какие функции возрастают на [a; b]?

Повторение Термин «промежуток» будем употреблять для обозначения либо интервала (а; b), либо отрезка [a; b], либо полуинтервалов: [a; b) (a; b]. Промежутки возрастания и промежутки убывания называют промежутками монотонности. С помощью производной можно находить промежутки монотонности функции. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на отрезке [-3; 8]. Укажите промежутки убывания функции.

Повторение С помощью производной можно находить промежутки монотонности функции. На рисунке представлен график функции y=f(x) и касательные к графику в точках А, В, С и D. Определите знак производной этой функции в точках А, В, С и D.

Новый материал В курсе математического анализа большую роль играет теорема, которая используется при доказательстве теоремы о достаточных условиях монотонности функции. Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b). Тогда на этом интервале существует точка х 0, что выполняется равенство: f(b) – f(a) = f(x 0 )(b – a) В чем состоит геометрический смысл этой теоремы?

Новый материал y=f(x) A b y x0 C Угловой коэффициент прямой АВ: B a M x0x0 Угловой коэффициент касательной:

Новый материал По теореме Лагранжа геометрически означает, что на графике любой непрерывной и дифференцируемой функции на отрезке [a; b] есть такая точка М(х 0 ; f(x 0 )), что касательная к графику функции в этой точке параллельна прямой АВ, где А(а; f(a)); B(b; f(b)); х 0 [a; b]. Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке и дифференцируема в его внутренних точках. Тогда, если f (x) > 0 во всех внутренних точках, то функция возрастает на этом промежутке; если f (x) < 0 во всех внутренних точках, то функция убывает на этом промежутке.

Новый материал Доказательство. 1) Пусть f(x) > 0 во внутренних точках промежутка, х 1, х 2 – произвольные точки этого промежутка, причем х 1 < х 2. Тогда по теореме Лагранжа имеем: f(x 2 ) – f(x 1 ) = f(x 0 )(x 2 - x 1 ), где х 0 (х 1 ; х 2 ). Так как f (x 0 ) > 0 и x 2 - x 1 >0, то f(x 2 ) – f(x 1 ) > 0; f(x 2 ) > f(x 1 ). Значит, функция f(x) возрастает на заданном промежутке. 2) Если f (x 0 ) < 0 на заданном промежутке, то получаем f(x 2 ) – f(x 1 ) < 0, так как f (x 0 ) < 0, x 2 - x 1 >0. Значит, функция f(x) убывает на заданном промежутке.

Новый материал х у 0 аb х у 0 а b х 0 х 0 х 0 х 0 f(x 0 ) > 0f(x 0 ) < 0

Домашнее задание § (3, 8), 902(1, 3), 905(2), 903(2, 4)

Выполнение упражнений 900(2, 5, 6, 7) 902(2, 4) 905(1) 903(1; 3) На рисунке 23 изображен график функции y = f'(x), являющейся производной функции y = f(x). Определите промежутки возрастания и убывания функции y = f(x).