Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции Урок 23 Классная работа

Домашнее задание повт. § На двойных листках выполнить: 1472(1,3), 1473(1), 1477(1), 1489(1)

Устная работа на повторение Решите уравнение: не удовлетворяет условию –х-1 0

Устная работа на повторение Вычислите:

Устная работа на повторение Указать количество целых решений неравенства:

Устная работа на повторение Найти сtg, если

Устная работа на повторение Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 27. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в 3 раза?

Теоретическая часть Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями. При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x) = arccos g(x). Предположим, что x 0 – решение этого уравнения. Обозначим arcsin f(x 0 ) и arccos g(x 0 ) через. Тогда sin = f(x 0 ), cos = g(x 0 ), откуда f 2 (x 0 ) + g 2 (x 0 ) = 1. Итак, arcsin f(x) = arccos g(x) f 2 (x) + g 2 (x) = 1.

Теретическая часть arcsin f(x) = arccos g(x) f 2 (x) + g 2 (x) = 1 arctg f(x) = arcctg g(x) f(x) · g(x) = 1 arcsin f(x) = arcctg g(x) arctg f(x) = arccos g(x) arcsin f(x) = arctg g(x) arccos f(x) = arcctg g(x)

Замечание 1. Корнем каждого из первых четырех уравнений может быть только такое число x 0, для которого f(x 0 ) 0 и g(x 0 ) 0. В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются. Пример 1. Решить уравнение Решение. посторонний корень Ответ: 1.

Пример 2. Решить уравнение Решение. посторонний корень

Пример 3. Решение. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x). arctg (2sin x) = arcctg (cos x) посторонние корни

Пример 4. Решить неравенство Решение. Рассмотрим функцию и решим неравенство f(x) 0 методом интервалов. 1) Найдем D(f). Для этого решим систему:

Пример 4. Решить неравенство Решение. Рассмотрим функцию и решим неравенство f(x) 0 методом интервалов. 2) Найдем нули f(x). Для этого решим уравнение: посторонний корень

Пример 4. Решить неравенство Решение. Рассмотрим функцию и решим неравенство f(x) 0 методом интервалов. 3) Решим неравенство f(x) 0 методом интервалов. f(-1) 0 f(1) 0 +

Пример 5. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x – a). Решение. Данное уравнение равносильно системе: Рассмотрим функцию f(x) = 2x 2 -5ax+2a Графиком квадратного трехчлена f(x) = 2x 2 – 5ax + 2a 2 – 1 является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем f(2a)=8 а а 2 +2 а 2 -1= -1 f(2a) = – 1 < 0, то при любом a уравнение f(x) = 0 имеет ровно 2 корня, между которыми и заключено число 2a. Поэтому только больший корень f(x) удовлетворяет условию x > 2a. Это корень

Самостоятельно: Найти ООФ: