Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций Урок 4

Знания и навыки учащихся Знать определение четности и нечетности функции, периодичности тригонометрических функций Уметь находить период тригонометрических функций Уметь исследовать их на четность и нечетность

Повторение Функция y=f(x) называется четной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). Функция четна тогда и только тогда, когда её график симметричен относительно оси ординат. Функция y=f(x) называется нечетной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x). Функция нечетна тогда и только тогда, когда её график симметричен относительно начала координат. Замечание. Если нечетная функция определена при х=0, то f(0)=0.

Повторение Пусть точки М 1 и М 2 единичной окружности получены поворотом точки Р(1; 0) на углы и - соответственно. Тогда ось Ох делит угол М 1 ОМ 2 пополам, и поэтому точки М 1 и М 2 симметричны относительно оси Ох. Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаком. Р(1; 0) О у х М 2 М 1 - sin sin(- ) cos tg(- ) =- tg, /2 + k, k Z ctg(- ) = - ctg, k, k Z sin(- ) = -sin, -любое cos(- ) = cos, -любое Эти равенства выражают свойства нечетности и четности тригонометрических функций.

Повторение Алгоритм выяснения четности функции 1. Найти D(f). 2. Выяснить, симметрична ли D(f) относительно О. 3. Выяснить, выполняется ли равенство: f(-x)=f(x). Выполнение равенства f(-x)=f(x) означает, что для любого х Х и - х Х, то есть область определения четной функции есть множество, симметричное относительно нуля. Алгоритм выяснения нечетности функции: 1. Найти D(g). 2. Выяснить, симметрична ли D(g) относительно О. 3. Выяснить, выполняется ли равенство: g(-x) = -g(x).

Практическая часть 1. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной:

Практическая часть 1. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной:

Теоретическая часть Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число Т, не равное 0, что для всех х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T). Замечание. Очевидно, если Т – период функции f(x), то (–Т) также период функции f(x), т. е. f(x-T)=f(x)=f(x+T). Теорема. Если Т – период функции, то kT, где k Z, также период функции. Среди всех периодов выделяют наименьший положительный период, который считают основным. Периодическими функциями описывают многие физические процессы (колебание маятника, вращение планет, переменный ток, …) Теорема. Основным периодом функций sins и cosх является число 2, tgx и ctgx – число. Покажем, что число 2 - наименьший положительный период функции y=cosx.

Теоретическая часть Пусть Т>0 - период функции y=cosx, т. е. для любого х выполняется равенство cos(x+T)=cosx. Пусть х=0, тогда cos(0+T)=cos0, т. е. cosT=1. Откуда Т=2 n, n Z. Так как Т>0, то Т может принимать значения 2, 4, 6, 8, … Период Т не может быть меньше 2. Итак, наименьший положительный период функции y=cosx равен 2. Свойство периодичности тангенса и котангенса в общем виде записывается как: tg x = tg(x + k) и ctg x = ctg(x + k), k Z sin x = sin(x + 2 k) и cos x = cos(x + 2 k), k Z Свойство синуса и косинуса, выраженное этими формулами, и называется периодичностью. Каждое из чисел 2, 4, 6, …, т.е. 2 k, k Z, прибавление которого к любому значению аргумента х не изменяет значений синуса и косинуса, называют периодом синуса и косинуса. Таким образом, периодами этих функций служат числа k, а наименьший положительный период тангенса и котангенса равен.

Периодичность тригонометрических функций у х О у х О у хО у={x} дробная часть числа Примеры графиков периодических функций

1 0 У X 1 X У 0 у= sin x 1 0 X У X У у=cos х X у= tg x у= сtg x

Практическая часть 702(1, 3, 5) Доказательство: Нужно показать, что для любого х из ООФ верно равенство f(x)=f(x+T). ч.т.д устно Доказательство: ч.т.д Доказательство: ч.т.д

Практическая часть 705(1) Решение: Наименьший положительный период функции косинус 2, значит, Следовательно, период Т= 5. Ответ: Т= 5. Иное решение: Чтобы найти наименьший положительный период тригонометрической функции, нужно наименьший положительный период тригонометрической функции с аргументом х разделить на коэффициент при х данной функции: Наименьший положительный период функции косинус 2, значит, наименьший положительный период данной функции равен

Практическая часть 705(3) самостоятельно Решение: Наименьший положительный период функции тангенс, значит, Следовательно, период Т= 2. Ответ: Т= 2.

Практическая часть 705(4) Решение: Наименьший положительный период функции синус 2, значит, Следовательно, период Т=. Ответ: Т=.

Домашнее задание 1. Определить, является ли данная функция четной или нечетной: (2, 4, 6), 705(2) Какие из тригонометрических функций являются четными? Какие - нечетными? Назовите наименьший положительный период каждой тригонометрической функции.

Практическая часть Определить, является ли данная функция четной или нечетной. По вариантам: вариант I: 1, 3, 5; вариант II: 2, 4, 6. Ответы: 1), 2), 5), 6) – четные; 3), 4) - нечетные