ОСОБЕННОСТИ КЛАССА 2-СИСТЕМ ПФАФФА НА 5-МЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ. Выполнила: Космачёва С.В.

В данной работе найдены значения, которые может принимать класс 2-системы Пфаффа на 5-мерном многообразии. В работе доказано, что такие системы не могут иметь класс 3 ни в какой точке. Доказано также, что типичная 2-система Пфаффа имеет класс 5 на открытом всюду плотном подмногообразии из М, класс 4 на подмногообразии размерности 3, и не имеет класс 2 ни в какой точке многообразия M.

Опр. 1. Системой Пфаффа ранга r на n– мерном дифференцируемом многообразии называется отображение σ, которое каждой точке ставит в соответствие r-мерное подпространство σ (x) ко касательного пространства. Локальным базисом системы σ на открытом подмножестве называется система из r линейных дифференциальных 1-форм на U, линейная оболочка которых в каждой точке совпадает с σ (x).

Классический вид системы Пфаффа. Пусть - -карта на М в окрестности точки с координатными функциями и - локальный базис системы на U. Тогда, и систему Пфаффа σ в окрестности U принято записывать в виде: (1)

П.2 характеристическая система. Опр. 2 Характеристической системой системы Пфаффа σ в точке называется подпространство ко касательного пространства. Где - векторные поля образующие базис Ann σ, где - локальный базис σ в окрестности точки. Опр. 3. Размерность характеристической системы системы Пфаффа σ в точке называется классом системы Пфаффа σ в точке. Теорема. Если класс системы постоянен, то он равен минимальному числу независимых переменных через которые она выражается.

П.3 Струи Два отображения называются r-эквивалентными в точке если их значения и значения всех производных до порядка r включительно в некоторой карте совпадают. Опр. 4 r-струёй отображений из M в N называется каждый класс r-эквивалентности таких отображений. обозначим множество всех r- струй через тогда -дифференцируемое многообразие.

Рассмотрим систему уравнений с частными производными : (1) обозначим как подмногообразие пространства 1-струй отображений из в, определённое уравнениями (2), где,,, Принимая за координаты на, получаем систему Пфаффа на : (3)

П.4 Топология Уитни Опр 5. Базой - топологии Уитни на множестве является семейство подмножеств вида: Ũ для всех открытых U из. Поскольку система Пфаффа является отображением,то на множестве система Пфаффа на многообразии М определяется -топологией Уитни. Опр 6. Если в пространстве систем Пфаффа на многообразии M с -топологией Уитни задано открытое плотное множество, то всякую систему из этого множества будем называть типичной системой на M.

П.5 Основные теоремы Теорема 1. Класс 2-системы Пфаффа на 5- мерном дифференцируемом многообразии в каждой точке равен одному из чисел 2,4,5. Теорема 2. Типичная 2-система Пфаффа в пространстве систем Пфаффа с - топологией Уитни на 5- мерном многообразии имеет класс 5 в точках открытого подмногообразия, класс 4 в точках 3-мерного многообразия, и не имеет класс 2 не в одой точки из M.

Пример типичной 2-системы Пфаффа в. Приведём конкретный пример : (4) Эта система является типичной. Класс этой системы равен 4 на подмногообразии размерности 3,определённом уравнениями (5) и класс системы (4) равен 5 на открытом подмногообразии, определённом неравенством (6)

Спасибо за внимание !