Властивості паралельних площин

Площина, що перетинає дві паралельні площини називається січною площиною

Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі перетину паралельні. γ Теорема(про паралельні площини і січну площину) α α β β

Доведення: Дано: α || β, і γ січна площина, АО пряма перетину площин α іγ, ВС пряма перетину площин β і γ. Довести: АО || ВС. Доведення. За умовою, прямі АО і ВС лежать у січній площині γ Вони не можуть перетинатися, бо інакше перетиналися б площини α і β, а це суперечить умові. Отже, АО || ВС.

Теорема (про рівність кутів між прямими, що перетинаються) Якщо дві прямі, що перетинаються, відповідно паралельні двом іншим прямим, що перетинаються, то кут між першими прямими дорівнює куту між другими.

Доведення: Дано: a×b в точці А, а 1 × b 1 точці A 1, а || а 1, b || b 1, φ кут між прямими а і Ь, а φ 1 кут між прямими а 1 і b 1 Довести:φ= φ 1 Доведення. Якщо прямі а, b, а 1 і b 1 лежать в одній площині,тоді пряма а перетинається з прямою b 1, а пряма b з прямою а 1. Позначимо точки їх перетину В і D. Чотирикутник АВА 1 D паралелограм, оскільки у нього протилежні сторони попарно паралельні. Тому φ= φ 1 Нехай прямі а, b, а 1 і b 1 не лежать в одній площині. Через прямі а і b проведемо площину α, а через прямі а 1 і b 1 площину β. За ознакою паралельності площин, α || β. Відкладемо на даних прямих рівні відрізки АВ= А 1 В 1, АС = А 1 С 1 І проведемо прямі АА 1,ВВ 1 СС 1 ВС В 1 С 1. Чотирикутник АВВ 1 А 1 паралелограм, оскільки протилежні сторони АВ і А 1 В 1 паралельні. Тому відрізки АА 1 і ВВ 1 також рівні і паралельні. Аналогічно рівні й паралельні відрізки АА 1 і СС 1. Звідси ВВ 1 = СС 1, ВВ 1 || СС 1, і чотирикутник ВВ 1 СС 1, паралелограм. Тому ВС= В 1 С 1 АВС= А 1 В 1 С 1,, за трьома сторонами. Звідси кут ВАС дорівнює куту В 1 А 1 С 1. Оскільки кут ВАС = φ, кут В 1 А 1 С 1 = φ 1. Отже, φ= φ 1

Наслідки: Наслідок 1 (властивість перпендикулярних прямих). Дві прямі, що паралельні перпендикулярним прямим, перпендикулярні. Наслідок 2. Кут між мимобіжними прямими не залежить від вибору точки, через яку проходять прямі, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим.

Наслідки Наслідок 3 (властивість кутів з відповідно паралельними й однаково напрямленими сторонами). Два кути з відповідно паралельними й однаково напрямленими сторонами рівні С 1 В 1 β А 1 С 1 В 1 β А 1 С В α А С В α А