Паралельність площин в просторі

Площини у просторі можуть: Перетинаються Паралельні α Збігатися α α β β β β βαβα βαβα

Теорема (основна ознака перетину площин) Якщо одна з двох площин,що перетинаються, проходить через пряму паралельну другій площині, то пряма їх перетину паралельна даній прямій. a α b β b β

Доведення Дано: α×β, а лежить в α, а || β b лежить в α і β Довести: а || b Доведення: За умовою, пряма b лежить в одній площині α з прямою а, пряма b не може перетинатися з прямою а, бо інакше пряма а перетиналася б із площиною β, а це неможливо.

Наслідок (властивість площин, що перетинаються) Якщо пряма паралельна кожній з двох площин, що перетинаються, то вона паралельна і прямій їх перетину b β a α

Дві площини, що не перетинаються називаються паралельними Паралельність площин позначається α || β β β α α

Теорема (ознака паралельності площин) Якщо дві прямі, що перетинаються однієї площини, відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини, то ці площини паралельні. а 1 b 1 β а 1 b 1 β a b α a b α

Доведення: Дано: площини α і β, прямі а і b площини α, а×b, прямі а 1 і b 1 площини β, а || а 1, b || b 1 Довести: α || β. Доведення. Оскільки прямі а і b паралельні прямим а 1 і b 1 то а || β і b || β (за ознакою паралельності прямої і площини). Припустимо, що площини α і β не паралельні, а перетинаються по деякій прямій MN. Площина α проходить через пряму а, паралельну площині β, і перетинає цю площину по прямій MN. Тоді, за властивістю площин, що перетинаються MN || а Так само, площина α проходить через пряму b, паралельну площині β, і перетинає цю площину по прямій MN. Тоді MN || b. Дістали, що у площині α через точку А проходить дві прямі а і b, паралельні прямій MN. А це суперечить основній властивості паралельних прямих. Отже, площини α і β не перетинаються, тобто α || β.

Теорема (Основна властивість паралельних площин) Через точку, яка не лежить у площину можна прости пряму паралельну даній і до того ж тільки одну