Преобразования графиков функций 10 класс

Говоря о преобразованиях графиков функций, мы имеем ввиду изменения графика некой элементарной функции (график которой строится достаточно просто) относительно системы координат с помощью параллельного переноса, симметрии относительно осей координат, растяжения или сжатия вдоль оси. «Элементарные» функции:

Преобразования Функции (по оси Оу: « напрямую » ) Аргумента (по оси Ох: « наоборот » ) Все изменения графика происходят вдоль оси функций. Все изменения графика происходят вдоль оси аргументов. Так как функция – это зависимость аргумента и соответствующего ему значения функции, то будем рассматривать два направления преобразований – по каждой переменной.

Сдвиг по Оy на a 1.Y= f (x) + a 1) у = sin(x) + 2 Сдвиг по Оу вверх на 2 ед. 2) у = sin(x) – 3 Сдвиг по Оу вниз на 3 ед x y 123 у 0 = sin(x)

1.Y= f (x + a) Сдвиг по Ox на - a 1) у = (x + 2) 2 Сдвиг по Ох влево на 2 ед. 2) у = (x - 2) 2 Сдвиг по Ох вправо на 2 ед x y 123 у 0 = x 2

2.Y= - f (x) Симметрия графика относительно Ох у 0 = cos(x) 1 ) у = - cos(x) x y 123

2.Y= f (-x) Симметрия графика относительно Oy x y 123 у 0 = x 3 1) у = ( -x ) 3

3. у = k f(x) k>1 растяжение по Oy в k раз. 0<k<1 сжатие по Oy в 1/k раз x y 123 1) у = 2sin(x) у 0 = sin(x)

3. у = f(kx) k>1 сжатие по Ox в k раз 0<k<1 растяжение по Ox в 1/k раз. 1) у = (3x) 2 2) у = ( 0,5 x) x y 123 у 0 = х 2

4. у = |f (x)| Симметрия отн. Ox части графика для y<0, а для y0- оставить. у 0 = x 2 у = |х 2 – 2| x y 123

4. у = f (|x|) Симметрия отн. Oy части графика для x 0, а для x<0 - отбросить x y 123 у 0 = sin (x) у = sin (|x|)

В зависимости от задания функции ее график можно построить в результате композиции нескольких последовательно выполненных преобразований. Для этого в правой части формулы, задающей функцию, надо расставить порядок действий как в обычном примере: У = - 0,5(х – 2) Учитывая, что от перестановки мест множителей произведение не меняется, выполняем преобразования в следующей последовательности: 1. Симметрия относительно оси Ох (× (-1)) 2. Сжатие по оси Оу в 2 раза (× 0,5) 3. Сдвиг вдоль оси Ох вправо на 2 ед.( – 2) 4. Сдвиг вдоль оси Оу вверх на 4 ед.( + 4) у 0 = x или у = -1 0,5(х – 2) 2 + 4

x y 123 у 0 = x 2 1. Симметрия относительно оси Ох 2. Сжатие по оси Оу в 2 раза 3. Сдвиг вдоль оси Ох вправо на 2 ед. 4. Сдвиг вдоль оси Оу вверх на 4 ед.

Применение преобразований графиков – очень увлекательный процесс. Это не только экономия времени при построении, но и эстетическое наслаждение, а также ощущение своей «власти» над Функцией, график которой «податлив» в умелых руках и легко «подчиняется» воле знающего! Желаем успехов в освоении материала! Заключение: