Повторення. Кут між прямими a b Нехай - той з кутів, який не перебільшує будь – який з трьох інших кутів. Тоді говорять, що кут між прямими, які перетинаються дорівнює.

a b 30 0 n m Кут між прямими m та n Кут між прямими а та b 30 0.

Повторення. А В С D

К С ОВ А KADCD- тетраедр. КО- його висота. Проекцією бічного ребра КВ на площину основи є відрізок А) АО; Б) ОВ; В) ОС. Повторення.

К В KABCD правильна чотирикутна піраміда, КО - її висота. Проекція бічного ребра KD на площину основи є відрізок А) AD; Б)DC; В) OD; Г) OA. Повторення. А С D О

Кут між мимобіжними прямими а b а ba bb М Через довільну точку М проведемо прямі m та n, відповідно паралельні прямим a та b. Кут між мимобіжними прямими a та b дорівнює mn

Кут між мимобіжними прямими а b а ba b М Точку М можна вибрати довільно. m В якості точки М зручно взяти будь – яку точку на одній з мимобіжних прямих.

Задача1.Пряма СD проходить через вершину трикутника АВС та не лежить в площині АВС. E та F – середини відрізків АВ та ВС.Знайдіть кут між прямими СD та EF, якщо DCA = 60 0 D В EF СD EF СDА C ? F E

Задача 2.Пряма МА проходить через вершину квадрата АВСD та не лежить у площині квадрата. Доведіть, що МА та ВС – мимобіжні прямі. Знайдіть кут між мимобіжними прямими МА та ВС, якщо МАD = М D МА ВС С А ? B

т Задача3.Пряма m паралельна діагоналі ВD ромба АВСD та не лежить в площині ромба. Доведіть, що а) m та АС – мимобіжні прямі – та знайдіть кут між ними; б) m та AD – мимобіжні прямі – знайдіть кут між ними, якщо АВС = А В D С 128 0

П-Р Кутом між прямою та площиною, яка перетинає цю пряму і не перпендикулярна до неї, називається кут між прямою та її проекцією на площину. П -а П-я Н А М

Знайти кут між похилими та площиною (описати алгоритм побудови). А F R П-Р Н МH FF FМFМFH К М

А Н Якщо пряма перпендикулярна до площини, то її проекцією на цю площину є точка перетину цієї прямої з площиною. В цьому випадку кут між прямою та площиною вважають рівним 90 0.

Якщо пряма паралельна площині, то її проекцією на площину буде пряма, паралельна заданій. В цьому випадку поняття кута між прямою та площиною ми не вводимо. (Іноді домовляються вважати, що кут між паралельними прямою та площиною дорівнює 0 0 ) a

Знайти тангенс кута між діагоналлю куба та площиною однієї з його граней. Задача 1 Задача 1. D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 Підказка Підказка Кутом між прямою та площиною, яка перетинає цю пряму та не перпендикулярна до неї, називається кут між прямою та її проекцією на площину. П-Р П-а П-я Н А М П-Р П-а П-я

Задача 2. ? А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 А BC O 6 дм D Підказка Підказка

Задача 3 Задача 3. І з вершини А прямокутника ABCD зі сторонами АВ = а і ВС = 3а до площини прямокутника проведено перпендикуляр АЕ =2а. Знайдіть кут між прямими AD і CE В D А С Е Підказка Підказка

Задача 4 Задача 4. С А В К

Задача 5. М А В С К

Задача 6. А В С М К

Задача 7. К С А В D O

O D C D1D1 C1C1 6 дм Задача 2.

1.Кут між мимобіжними прямими 2.Теорема про три перпендикуляри Пряма, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції на цю площину, перпендикулярна до цієї похилої. С В D А С Е Задача 3.

А В С D Задача 7. 15см 20см О С А В D O