20 10 г.

Специальные методы: 1.Метод выделения квадратного двучлена. 2. Метод «переброски» старшего коэффициента. 3. На основании теорем.

Общие методы: Разложение на множители; Введение новой переменной; Графический метод.

. Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ - знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.

– английский математик, который ввёл термин «дискриминант».

В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик – Это было настоящее событие в математике.

Энциклопедия квадратного уравнения

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ в=0 ах 2 +с=0 в=0 ах 2 +с=0 с=0 ах 2 +вх=0 с=0 ах 2 +вх=0 в,с=0 ах 2 =0 в,с=0 ах 2 =0

Алгоритм решения 1.Переносим с в правую часть уравнения. ах 2 = -с. 2.Делим обе части уравнения на а0. х 2 =. 3.Если >0 - два решения: х 1 = и х 2 = - Если 0 - два решения: х 1 = и х 2 = - Если

1. Выносим x за скобки: х (ах + в) = «Разбиваем» уравнение на два: x = 0, ах + в = Два решения: х = 0 и х = (а0). 1. Выносим x за скобки: х (ах + в) = «Разбиваем» уравнение на два: x = 0, ах + в = Два решения: х = 0 и х = (а0). Алгоритм решения с=0 ах 2 +вх=0 с=0 ах 2 +вх=0

1. Делим обе части уравнения на а0. х 2 = 0 2. Одно решение: х = 0. Алгоритм решения в,с=0 ах 2 =0 в,с=0 ах 2 =0

Если < 0, то корней нет. Если > 0, то Неполные квадратные уравнения:

D < 0 D < 0 D = 0 D > 0 Корней нет

b = 2k (чётное число)

Теорема Виета x 1 и х 2 – корни уравнения

Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Пример: х 2 - 6х + 5 = 0. Метод выделения квадрата двучлена.

Корни квадратных уравнений и связаны соотношениями и Пример: Метод «переброски» старшего коэффициента. 2х 2 - 9х – 5 = 0.

На основании теорем: Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен Если в квадратном уравнении то один из корней равен (-1), Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета равен а второй по теореме Виета равен Примеры : 200х х + 10 = 0.

Метод разложения на множители привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х. Цель: Вынесение общего множителя за скобки; Вынесение общего множителя за скобки; Использование формул сокращенного умножения; Использование формул сокращенного умножения; Способ группировки. Способ группировки. Способы: Пример: 4х 2 + 5х + 1 = 0.

Введение новой переменной. Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Пример: (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2.

Графический метод Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Пример: х 2 =х+2.

Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Метод выделения квадрата двучлена. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2. Решим уравнение х 2 - 6х + 5 = 0. х 2 - 6х + 5 = 0. (х -3) 2 – 4 = 0. (х -3) 2 = 4. х – 3 = 2; х – 3 = -2. х = 5, х =1. Ответ: 5; 1. Решим уравнение х 2 - 6х + 5 = 0. х 2 - 6х + 5 = 0. (х -3) 2 – 4 = 0. (х -3) 2 = 4. х – 3 = 2; х – 3 = -2. х = 5, х =1. Ответ: 5; 1.

Метод переброски старшего коэффициента ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0 связаны соотношениями: Решите уравнение 2х 2 - 9х – 5 = 0. у 2 - 9у - 10 = 0. D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5. Ответ : 5; -0,5. Решите уравнение 2х 2 - 9х – 5 = 0. у 2 - 9у - 10 = 0. D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5. Ответ : 5; -0,5.

Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен Решите уравнение 137х х – 157 = х х – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Ответ: 1;. Решите уравнение 137х х – 157 = х х – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Ответ: 1;..

Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета равен Решите уравнение 200х х + 10 = х х + 10 = 0. a = 200, b = 210, c = 10. a + c = = 210 = b. х 1 = -1, х 2 = - Решите уравнение 200х х + 10 = х х + 10 = 0. a = 200, b = 210, c = 10. a + c = = 210 = b. х 1 = -1, х 2 = - Ответ: -1; -0,05

Метод разложения на множители. Решите уравнение 4х 2 + 5х + 1 = 0. 4х 2 + 5х + 1 = 0. 4х 2 + 4х + х + 1 = 0. 4х(х+1) + (х+1) = 0. 4х(х + 1) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. 4х = 0, х + 1 = 0. х = 0, х = -1. Ответ: 0; -1. Решите уравнение 4х 2 + 5х + 1 = 0. 4х 2 + 5х + 1 = 0. 4х 2 + 4х + х + 1 = 0. 4х(х+1) + (х+1) = 0. 4х(х + 1) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. 4х = 0, х + 1 = 0. х = 0, х = -1. Ответ: 0; -1.

Метод введения новой переменной. Решите уравнение (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2. (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2. Пусть: t = 2х + 3. Произведем замену переменной: t 2 = 3t - 2. t 2 -3t + 2 = 0. D > 0. По теореме, обратной теореме Виета: t 1 = 1, t 2 = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х, получим следующие корни: -1; -0,5. Ответ: -1; -0,5. Решите уравнение (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2. (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2. Пусть: t = 2х + 3. Произведем замену переменной: t 2 = 3t - 2. t 2 -3t + 2 = 0. D > 0. По теореме, обратной теореме Виета: t 1 = 1, t 2 = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х, получим следующие корни: -1; -0,5. Ответ: -1; -0,5.