(Производная суммы, произведения, частного, степенной и сложной функции)

Пусть u и v – две функции, определенные на одном и том же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна сумме их производных, если они существуют. (u (x) + v (x)) =u (x) + v (x) Эта формула справедлива для любого конечного числа слагаемых

Найти f (x), если f (x) = x+5 f (x) = (x+5) = (x)+(5) = = 1 Найти f (x), если f (x) = 3x-2 f (x) = (3x-2) = (3x)-(2) = 3-0 = 3 Ответ: Ответ: 1 3

Найти f,если f(x) = 6x 3 + 2x 2 - 7x - 3 f(x) = (6x 3 + 2x 2 - 7x – 3) = (6x 3 ) + (2x 2 ) - (7x) - (3) = 18x 2 + 4x - 7 Ответ: 18x 2 + 4x – 7 Найти f,если f(x) = 5x 4 - 3x 3 + 6x + 1 f(x) = (5x 4 - 3x 3 + 6x + 1) = (5x 4 ) – (3x 3 ) + (6x) + (1) = 20x 3 - 9x Ответ: 20x 3 - 9x 2 + 6

Производная произведения двух функций u и v вычисляется по формуле (uv) = uv + uv В предположении, что производные u и v существуют.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (k f (x)) = k f (x) (k f (x)) = k f (x)

f (x) = ((2x - 3)(3x + 1)) = (2x - 3)(3x + 1) + (2x - 3)*(3x + 1) = 2(3x + 1) + (2x - 3)*3 = 12x - 7 Ответ: Этот же пример можно решить и иначе: y = (2x - 3) * (3x + 1) = 6x 2 - 7x x - 7

Если функции u и v имеют в точке x производные и если v(x) 0, то в этой точке существует производная их частного u / v, которая вычисляется по формуле: (u/v) = (uv - uv)/v 2 (u/v) = (uv - uv)/v 2

(u/с) = 1/c*u (1/x) = -1/x 2 (с/v) = -c/v 2

f(x) = ((3 + 5x) / (1 - 3x)) = ((3 + 5x) * (1 - 3x) - (3 + 5x) * (1 - 3x)) / (1 - 3x) 2 = (3 + (5x)) * (1 - 3x) - (3 + 5x) * (1- (3x)) / (1 - 3x) 2 = (5 *(1 - 3x) – (3 + 5x) * *(- 3)) / (1 - 3x) 2 = 14 / (1 - 3x) 2 Ответ: 14/(1 - 3x) 2

Производную степенной функции x k, где k єR, x>0, вычисляют по формуле: (x k ) = kx k - 1 1) При k = -1 получаем: (1/x) = (x -1 ) = (-1)x -2 = -1/x 2 (x 0) 2) При k = 1/2 имеем( x) = (x 1/2 ) = 1/2x 1/2-1 = 1/2x -1/2 = 1/2 x (x>0)

y =( 5x -2/5 ) = 5 * (-2/5) * x -2/5-1 = = -2x -7/5 Ответ: -2x -7/5

Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной y x = y u * u x

Найти производную функции: y=(3-5x+x 2 ) 100 y = 100 * (3 - 5x + x 2 ) 99 * (3 - 5x + x 2 ) = 100 * (3 - 5x + x 2 ) 99 * ( x) Ответ: 100 * (3 - 5x + x 2 ) 99 * ( x)