Что такое стереометрия Что такое стереометрия? Аксиомы стереометрии Аксиомы стереометрии ; Некоторые следствия аксиом стереометрии: 1. Теорема 14.1;Теорема Теорема 14.2;Теорема Теорема 14.3;Теорема 14.3 Задачи: 1. Задача к теореме 14.1;Задача к теореме Задача к теореме 14.2;Задача к теореме Задача к теореме 14.3;Задача к теореме 14.3 Вопросы для повторения Вопросы для повторения; Задачи для самостоятельной работы Задачи для самостоятельной работы; Список литературы.

Стереометрия (от греч. «стерео» телесный, «метро» измеряю) это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.скрещивающиеся прямые

Введение нового геометрического образа – плоскости- заставляет расширить систему аксиом. Поэтому мы вводим группу аксиом C, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом:

С 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. А В С

С 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

С 3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С. Замечание.

В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все рассмотренные нами фигуры. В стереометрии много, даже бесконечно много, плоскостей. В связи с этим формулировки некоторых аксиом планиметрии, как аксиом стереометрии, требует уточнения. Это относится к аксиомам II 2, IV 2, IV 2, IV 3, V. Приведем эти уточненные формулировки.

II 2. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. IV 2. От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180º, и только один. IV 3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости. V. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Для удобства изложения напомним аксиомы планиметрии первой группы.

I 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

I 2. Через две точки можно провести прямую, и только одну.

Теорема(14.1). Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть a – данная прямая и B – не лежащая на ней точка. Отметим на прямой a какую-нибудь точку A. Такая точка существует по аксиоме I 1. Проведем через точки A и B прямую b (аксиома I 2 ). Прямые a и b различны, так как точка B прямой b не лежит на прямой a.Прямые a и b имеют общую точку A. Проведем через прямые a и b плоскость α (аксиома С 3 ). Эта плоскость проходит через прямую a и точку B.

Докажем теперь, что плоскость α, проходящая через прямую a и точку B, единственна. Допустим, что существует другая, отличная от a, плоскость a /,проходящая через прямую a и точку B. По аксиоме С 2 плоскости a и a /,будучи различными, пересекаются по прямой, а именно по прямой a. Следовательно, любая общая точка плоскостей a и a / лежит на прямой a. Но точка B, общая для плоскостей a и a /,заведомо не лежит на прямой a. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана плоскостью.

Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Решение.

АB Прямая АВ лежит в плоскости Теорема(14.2). Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Некоторые следствия аксиом стереометрии

Доказательство. Пусть a – данная прямая и a – данная плоскость. По аксиоме I 1 существует точка A, не лежащая на прямой a. Проведем через прямую a и точку A плоскость a /. Если плоскость a / совпадает с a, плоскость a содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость a / отлична от плоскость a, то эти плоскости пересекаются по прямой a,содержащей две точки прямой a. По аксиоме I 2 прямая a совпадает с a и, следовательно, прямая a лежит в плоскости a. Теорема доказана.

Из теоремы 14.2 следует, что плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекается, либо пересекается в одной точке.

Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке A. Докажите, что прямые, пересекающие две данные и не пересекающие через точку A, лежат в одной плоскости. Решение.

Теорема(14.3) Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. Некоторые следствия аксиом стереометрии

Доказательство. Пусть A, B, C - три данные точки, не лежащие на одной прямой. Проведем прямые AB и AC;они различны, так как точки A, B, C не лежат на одной прямой. По аксиоме С 3 через прямые AB и AC можно провести плоскость a. Эта плоскость содержит точки A, B, C. Докажем, что плоскость a, проходящая через точки A, B, C, единственна. Действительно, плоскость, проходящая через точки A, B, C, по теореме 14.2 содержит прямые AB и AC. А по аксиоме С 3 такая плоскость единственна.

Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ. Решение.

1. Что такое стереометрия?Что такое стереометрия? 2. Сформулируйте аксиомы группы C.Сформулируйте аксиомы группы C. 3.Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. 4.Докажите, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости.Докажите, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости. 5.Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Верно ли, что а) любые три точки лежат в одной плоскости;любые три точки лежат в одной плоскости б) любые четыре точки лежат в одной плоскости;любые четыре точки лежат в одной плоскости в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости;любые четыре точки не лежат в одной плоскости г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость.

Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости;если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки A, B, C и A, B, D Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки A, B, C и A, B, D ?

Атанасян А.С. Геометрия (10-11 кл.).М, с. Погорелов А.В. Геометрия (6-10 кл.).М, с.

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости α и β имеют общую точку, то существует прямая a, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка A принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой a.

Это значит, что если две различные прямые a и b имеют общую точку C, то существует плоскость ץ, содержа-щая прямые a и b. Плоскость, обла-дающая этим свойством, единственна.

Допустим, что какие-нибудь три точки лежат на одной прямой. Проведем эту прямую и четвертую точку плоскость (теорема 14.1). В этой плоскости лежат все четыре точки. А это противоречит условию задачи. Значит, никакие три точки на могут лежать на одной прямой.

Проведем через данные прямые a и b плоскость a. Это можно сделать по аксиоме С 3. Прямая c, пересекающая данные прямые, имеет с плоскостью a две общие точки M и N (точки пересечения с данными прямыми). По теореме 14.2 эта прямая должна лежать в плоскости a.

Пусть A, B, C - три точки, лежащие на одной прямой a. Возьмём точку D, не лежащие на одной прямой a (аксиома I 1 ). Через A, B, D можно провести плоскость (теорема 14.3). Эта плоскость содержит две точки прямой a - точки A и B, а значит, содержит и точку C этой прямой (теорема 14.2). Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость.

Да

Нет