11 класс Цилиндр

Содержание Понятие силиндра Площадь поверхности силиндра Объём силиндра Сечения силиндра

Понятие силиндра Рассмотрим произвольную плоскость и окружность L с центром О радиуса r, лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную к плоскости. Поверхность, образованная этими прямыми, называется силиндрической поверхностью, а сами прямые образующими силиндрической поверхности. Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости, называется осью силиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости, то они параллельны друг другу.

Понятие силиндра Тело, ограниченное силиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L 1, называется силиндром (см. рис. 1).(см. рис. 1). Круги называются основаниями силиндра, отрезки образующих, заключенные между основаниями, образующими силиндра, а образованная ими часть силиндрической поверхности боковой поверхностью силиндра. Ось силиндрической поверхности называется осью силиндра. Как уже отмечалось, все образующие силиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой силиндра, а радиус основания радиусом силиндра.

Рисунок 1

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке 2 изображен силиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность силиндра образуется вращением стороны CD, а основания вращением сторон ВС и AD. Рис. 2

Сечения силиндра Рассмотрим сечения силиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось силиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (рис. 3), две стороны которого образующие, а две другие диаметры оснований силиндра. Такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси силиндра, то сечение является кругом. В самом деле, такая секущая плоскость (плоскость на рисунке 4) отсекает от данного силиндра тело, также являющееся силиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение. Рис. 3Рис. 4

Площадь поверхности силиндра На рисунке 5, а изображен силиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости (рис. 5, б). В результате в плоскости получится прямоугольник АВВ'А'. Стороны АВ и А'В' прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности силиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности силиндра. Основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания силиндра, а высота АВ образующей силиндра, поэтому АА' = 2 r, АВ = h, где r радиус силиндра, h его высота.рисунке 5, а (рис. 5, б)

Рисунок 5

Площадь поверхности силиндра За площадь боковой поверхности силиндра принимается площадь ее развертки. Так как площадь прямоугольника АВВ'А' равна АА' АВ = 2 rh, то для вычисления площади S бок боковой поверхности силиндра радиуса r и высоты h получается формула S б o к = 2 rh Итак, площадь боковой поверхности силиндра равна произведению длины окружности основания на высоту силиндра.

Площадь поверхности силиндра Площадью полной поверхности силиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна r 2, то для вычисления площади S сил полной поверхности силиндра получается формула S сил = 2 r ( r+h)

Объём силиндра Объём силиндра равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство Впишем в данный силиндр Р радиуса r и высоты h правильную n- угольную призму Р n (рис. 6). Площадь S n основания этой призмы выражается формулой(рис. 6) S n = nr sinπ/n cosπ/n. Наряду с призмой Р n рассмотрим призму Q n, описанную около силиндра Р (рис. 7). Площадь ее основания равна(рис. 7) nr tgπ/n r = S n /cos 2 π/n. Поскольку призма Р n содержится в силиндре Р, а силиндр Р содержится в призме Q n, то объем V силиндра Р удовлетворяет неравенствам S n h < V < S n h/cos 2 π/n. (1) Будем неограниченно увеличивать число n. Так как при n cosπ/n 1, a S n r 2, то правая и левая части неравенств (1) стремятся к величине r 2 h. Следовательно, V = r 2 h. (2) Обозначив площадь r 2 основания силиндра буквой S, из формулы (2) получим V = S h. Теорема доказана.

Рисунок 6

Рисунок 7