10 класс

f ' (x 0 ) = lim ( f / x) x 0 П усть х - произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки Х0 (окрестность точки Х0 - это интервал (а; b), Х0 (а; b)). Разность х- Х0 называется приращением аргумента: x = х- Х0. Отсюда x = Х0 + x. Разность f(x)-f(Х0 ) называется приращением функции: f = f(x) - f(x0) или f = f(x0+x) – f(x0). Отсюда f (x0 +x) = f (x0 ) + f. Рис.1 Геометрический смысл приращений х и f показан на рис.1. Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции f к приращению аргумента x, стремящегося к "нулю. Обозначается f ' (x 0 ). Итак,

Если функция у = f (х) имеет производную в точке x 0, то говорят, что она дифференцируема в точке x 0. Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.

Правило 1 Если функции u и v дифференцируемы в точке x 0, то их сумма также дифференцируема в точке x 0, причем производная суммы равна сумме производных, т.е. ( + )'= ' + ' Правило 2 Если функции u и v дифференцируемы в точке x 0, то их произведение также дифференцируемо в точке x 0, причем ( )' = ' + '

Правило 3 Если функции и дифференцируемы в точке х 0 и (х 0 ) 0, то их частное также дифференцируемо в точке x 0, причем ( / )' = ( ' - ') / ² Правило 4 Если функция u дифференцируема в точке x 0 и с = const, то их произведение также дифференцируемо в точке x 0, причем (си)' = си'. Правило 5 Если f (g(х)) - сложная функция, то ее производная равна произведению производных внешней и внутренней функций, т.е. [f(g(x))]'= f '(g) g'(x)

С помощью производной функции устанавливают промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. При этом используются следующие теоремы: Теорема 1 Если f ' (х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Если f ' (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I. Теорема 2 Теорема Ферма (необходимое условие экстремума): если x 0 - точка экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю.

Определение. Внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует, называется критической. Теорема 3 Достаточное условие экстремума: если функция f (x) непрерывна в точке x 0, а f '(х) > 0 на интервале (а; x 0 ) и f '(х) < 0 на интервале (x 0 ; b), то точка x 0 является точкой максимума. Обозначается Xmax

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на [а; b]: а) убедиться, что функция у = f(x) непрерывна на [а; b]; б) найти критические точки, принадлежащие [а; b]; в) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка; г) сравнением установить наибольшее и наименьшее значение, обозначается max f(X) = f(X 1 ), min f(X) = f(X 2 ) [а; b ] [а; b] Примечания 1. Если рассматривают функцию не на отрезке, а на интервале (а; b), то вычисляют вместо значений функции на концах пределы lim f(x) и lim f(x). x а х b 2. Не следует путать наименьшее и наибольшее значение функции с минимумом и максимумом функции. С помощью пределов исследуют "поведение" функции на бесконечности, а также вблизи точек разрыва, устанавливают наличие асимптот.

1. Область определения; 2. Область значения; 3. Чётность (нечётность); 4. Наименьший положительный период; 5. Координаты точек пересечения графика с осью Ох; 6. Координаты точек пересечения графика с осью Оу; 7. Промежутки возрастания графика функции; 8. Промежутки убывания графика функции; 9. Точки минимума и максимума функции; 10. Значение функции в точках минимума и максимума; 11. Дополнительные точки (если они нужны).

1. D(f) = R; 2. E(f) = R; f(x) 0 3. f(-x) =(-x ) (-x) = -x x = = - (x x ) = - f(x) - функция нечётная. 4. Не периодическая; 5. С осью Ох: у = 0 x x = 0 O (0;0), В(-;0), С(; 0) 6. Находим производную: f ' (x) = 3 x 2 – 12. Далее нужно решить неравенство: 3 x > 0 т.е _ - функция возрастает

0 _ f(x ) Нужно решить неравенство: 3 x < 0 т.е. 8. Решаем уравнение: f ' (x) = 0 т. е. 3 x = 0 Откуда х 1 = - 2, х 2 = _ maxmin 9. f max (- 2) =16 ; f min (2) = Соединяем полученные точки функция убывает