ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВХОД

Ура внение А(х)=В(х), в котором хотя бы одно из выражений А(х), В(х) иррационально, называется иррациональным

Решение иррациональных ура внений часто приводит к появлению посторонних корней, поэтому их решение предполагает два подхода: 1. Решение без ра вносильных преобразований, НО при этом необходима проверка 2. Использование ра вносильных преобразований:

f(x)=g(x) f(x) 0 f(x)=g(x) 2n f(x) = g(x) 2n+1

f(x)=g 2n (x) g(x) 0 f(x) = g(x) 2n f(x)=g(x) 2n+1 f(x)=g 2n+1 (x)

f(x) 0 f(x) * g(x)=0 2n f(x) * g(x)=0 2n+1 f(x)=0 g(x)=0 f(x)=0 g(x)=0

При решении некоторых иррациональных ура внений с самого начала полезно найти область допустимых значений ура внения. Иногда это дает ключ к их решению.

ПРИМЕР 1 11 х х – 9 х х-2 = 0 Найдем ОДЗ данного ура внения, для этого решим систему: 2 – х 0 11 х х – х х+7 0 х=2

Х=2 единственное решение системы. Подста вляя его в исходное ура внение, получаем: 5 – 0 – = 0 0=0, х=2 ОТВЕТ: 2

ПРИМЕР 2 x 2 - 6x + Х-4 = х–4 - 5 С учетом ОДЗ получаем систему: x 2 - 6x + 5=0 x 2 - 6x + 5=0 Х-40 х 4 Х=1 Х=5 Х=5 ОТВЕТ: 5

ПРИМЕР 3 (2 х-3) (2x 2 - 5x + 2)=0 Найти сумму корней 2x 2 - 5x х х +2=0 2 х – 3=0

х 0, х х 0, х 0.5 х=2, х=0.5 х=1.5 х=2 х=0.5 Сумма корней ра вна 2.5 ОТВЕТ: 2.5

Одним из методов решения иррациональных ура внений является метод введения новой неизвестной, который облегчает решение задач не только с квадратными корнями, но и с корнями высших степеней

ПРИМЕР 4 х х + х х +8 – 12=0 Пусть х х +8 = у, у Пусть х х +8 = у, у 0 х х, то Так как у 2 – 8= х х, то данное ура внение принимает вид: вид: у 2 – 8 + у – 12=0, корни которого 4 и -5(посторонний корень, т.к. у 0)

Остается решить ура внение х х + 8=4 Возводя обе части этого ура внения в квадрат, получим квадратное ура внение х х - 8=0, корни которого 2 и х х - 8=0, корни которого 2 и -4, причем оба удовлетворяют -4, причем оба удовлетворяют исходному ура внению ОТВЕТ: 2; - 4

ПРИМЕР 5 13 – Х Х =5 33 Пусть 13 – Х = а, 22 + Х = в, Тогда а 3 = 13-Х; в 3 = 22 + Х а 3 + в 3 = а+в=5 а 3 +в 3 =35 а+в=5 а 2 +а в+в 2 =7

а+в=5 (а+в) а в=7 а+в=5 а в = 6 а=2 в=3 Х=5 Х=-14 ОТВЕТ: 5; - 14

ПРИМЕР 6 Пусть Х - 2 = а, 1 + Х = в, в тогда в 0, тогда 3 а+в=3 в 2 -а 3 =3 в 0 в=3 - а -а 3 +9–6 а+а 2 =3 в 0 Х Х + 1 =3 3

в=3 - а (а 2 +6)(а-1)=0 в 0 Х – 2 = 1 Х + 1 =2 3 Х = 3 а=1 в=2 ОТВЕТ: 3

ПРИМЕР 7 Х+3 – 4 Х-1 + Х Х-1 = 1 Пусть Х-1 = а, а 0 тогда Х=а Ура внение примет вид: |а - 2|+|а - 3|=1, Решая его методом интервалов на промежутке [0; + ) получаем совокупность:

0 а<2 -а+2-а+3=1 2 а<3 а-2-а+3=1 а 3 а-2+а-3=1 0 а<2 а=2 2 а<3 1=1 а 3 а=3

2 а<3 а=3 2 а 3 2 Х-1 3 4Х-19 5Х10 ОТВЕТ: [5;10]

При решении некоторых иррациональных ура внений применяются специальные приемы

ПРИМЕР 8 3 х 2 +5 х х 2 +5 х +1 = 1 (1) Пусть 3 х 2 +5 х х 2 +5 х +1=а а а 0 (2). Перемножая ура внения (1) и (2) почленноее, найдем а=7. Далее при а=7 сложим почленноее ура внения (1) и (2), получим:

3 х 2 +5 х+8 = 4 3 х 2 +5 х-8 = 0 Х= Х= ОТВЕТ: 3; - 8 3

Решении некоторых видов иррациональных ура внений облегчает введение тригонометрической подстановки

ПРИМЕР 9 Пусть х = 2 tg а. Т.к. х>0, то 0 0 <а<п/2. х + = 2 2 х 2+х 2 х + = 2 0 0<а<п/2. 2 2tg а 2 sec а

0 0<а<п/2. 2 (cos а+sin а)= sin2 а 0 0<а<п/2. >0 cos а+sin а>0 2(1- 2(1- sin2 а)= sin 2 2 а

0 0<а<п/2. 1 tg а<1 sin 2 2 а + 2sin2 а – 2 = 0 0 0<а<п/2. 1 tg а<1 sin2 а= 3 - 1

0 0<а<п/4 ( 3 – 1)tg 2 а-2tgа+( 3-1)= <а<п/4 tg а= – 3 tg а= ( – 3) 1

– tg а = ( – 3) х = ОТВЕТ: ( – 3) 2 3-1

ПРОЕКТ ВЫПОЛНИЛ УЧЕНИК 11 «А» КЛАССА МОУ ШИЛИ БЕНЬКО ИГОРЬ 2007 год ВЕРНУТЬСЯ В НАЧАЛО